Вадим является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно часов в неделю, то за эту неделю они производят единиц товара.
За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Вадим платит рабочему 200 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, — 300 рублей.
Вадим готов выделять 1 200 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Математическая модель.
Пусть за неделю первый завод производит x единиц товара, второй — y единиц, где x ≥ 0, y ≥ 0.
Тогда рабочие затрачивают соответственно x² и y² часов.
Ограничение на оплату труда: 200x² + 300y² ≤ 1 200 000, или 2x² + 3y² ≤ 12 000.
Требуется найти наибольшее значение x + y.
б) Оценка и достижение максимума.
Из неравенства (2x − 3y)² ≥ 0 следует:
5(2x² + 3y²) − 6(x + y)² = (2x − 3y)² ≥ 0.
Поэтому 6(x + y)² ≤ 5 · 12 000 = 60 000, откуда x + y ≤ 100.
Равенство возможно при 2x = 3y и x + y = 100, то есть при x = 60, y = 40.
Проверим расходы: 200 · 60² + 300 · 40² = 720 000 + 480 000 = 1 200 000 рублей.
Следовательно, выпуск 100 единиц достижим и является наибольшим.
Ответ: 100 единиц товара.