а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Уравнение определено при всех действительных x.
Применим формулы sin 2x = 2sin x cos x и sin(x + π) = −sin x:
2sin x cos x − √2 sin x = 0.
Вынесем общий множитель: sin x(2cos x − √2) = 0.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда sin x = 0 или cos x = √2/2.
Первое уравнение даёт x = πk, второе — x = ±π/4 + 2πk, где k ∈ Z.
Ответ: πk, k ∈ Z; ±π/4 + 2πk, k ∈ Z.
б) Для каждой серии решим двойное неравенство −4π ≤ x ≤ −5π/2.
Если x = πk, то −4 ≤ k ≤ −5/2. Целые значения k = −4 и k = −3 дают x = −4π и x = −3π.
Если x = π/4 + 2πk, то −4π ≤ π/4 + 2πk ≤ −5π/2, откуда −17/8 ≤ k ≤ −11/8. Единственное целое значение k = −2 даёт x = −15π/4.
Если x = −π/4 + 2πk, то −4π ≤ −π/4 + 2πk ≤ −5π/2, откуда −15/8 ≤ k ≤ −9/8. Целых значений k нет.
Ответ: −4π; −15π/4; −3π.