Различные точки и лежат на окружности основания конуса
с вершиной так, что отрезок является её диаметром. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен
а) Докажите, что
б) Найдите объём тетраэдра если
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Пусть O — центр основания, R — его радиус, l — образующая конуса. Высота SO перпендикулярна основанию, поэтому угол между SA и основанием равен ∠SAO = 60°.
Из прямоугольного треугольника SAO получаем R/l = cos 60° = 1/2, следовательно, l = 2R.
По теореме косинусов в треугольниках ASC и BSC, учитывая SA = SB = SC = l, имеем:
cos ∠ASC = 1 − AC²/(2l²),
cos ∠BSC = 1 − BC²/(2l²).
Поскольку AB — диаметр, вписанный угол ACB прямой. По теореме Пифагора AC² + BC² = AB² = 4R² = l².
Таким образом, cos ∠ASC + cos ∠BSC = 2 − (AC² + BC²)/(2l²) = 2 − 1/2 = 1,5.
Ответ а): равенство доказано.
б) По условию l = 1, поэтому R = 1/2, а высота конуса SO = l sin 60° = √3/2.
Из равенства 2/3 = 1 − AC²/2 получаем AC² = 2/3. Поскольку AB = 2R = 1, по теореме Пифагора BC² = 1 − 2/3 = 1/3.
Треугольник ACB прямоугольный, поэтому его площадь равна S = AC · BC/2 = √(2/3) · √(1/3)/2 = √2/6.
Высота тетраэдра SABC, проведённая к основанию ABC, равна SO, так как плоскость ABC совпадает с плоскостью основания конуса.
Следовательно, V = S · SO/3 = (√2/6) · (√3/2)/3 = √6/36.
Ответ б): √6/36.