Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке . Вершины и равнобедренного прямоугольного треугольника
с прямым углом лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая вторично пересекает бо́льшую окружность
в точке , а прямая вторично пересекает меньшую окружность в точке .
а) Докажите, что прямые и параллельны.
б) Найдите , если радиусы окружностей равны и 15.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Обозначим радиусы меньшей и большей окружностей через r и R, их центры — O₁ и O₂.
При внешнем касании центры и точка C лежат на одной прямой, причём C находится между центрами. Поэтому гомотетия с центром C и коэффициентом −R/r переводит O₁ в O₂ и меньшую окружность в большую.
При этой гомотетии точка A переходит в E: её образ лежит на прямой AC и большей окружности и отличается от C. Аналогично точка D переходит в B.
Следовательно, прямая AD переходит в BE. Прямая AD не проходит через центр гомотетии C, поэтому AD ∥ BE.
Ответ: а) AD ∥ BE.
б) Пусть AC = BC = x. Из гомотетии следует CB/CD = R/r, откуда CD = rx/R.
Точки A и D лежат на лучах, противоположных соответственно CE и CB. Так как AC ⟂ BC, угол ACD прямой.
По теореме о вписанном угле хорда AD является диаметром меньшей окружности. Следовательно, AD = 2r.
По теореме Пифагора в треугольнике ACD получаем AC² + CD² = AD², то есть x² + r²x²/R² = 4r².
Подставим r = √15, R = 15: x²(1 + 15/225) = 60, поэтому x² · 16/15 = 60 и x² = 225/4.
Поскольку x положительно, BC = x = 15/2 = 7,5.
Ответ: б) 7,5.