Решите неравенство .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) ОДЗ. Для существования логарифмов необходимо: 4x² − 1 > 0, x > 0, 5x + 9/x − 11 > 0.
Первые два условия дают x > 1/2.
При x > 0 третье условие равносильно 5x² − 11x + 9 > 0. Дискриминант D = 121 − 180 = −59 < 0, старший коэффициент положителен, поэтому это условие выполняется всегда.
Итак, ОДЗ: x ∈ (1/2; +∞).
б) Равносильные преобразования. На ОДЗ по свойству разности логарифмов получаем log₂((4x² − 1)/x) ≤ log₂(5x + 9/x − 11).
Поскольку основание 2 > 1, логарифмическая функция возрастает. Поэтому неравенство равносильно (4x² − 1)/x ≤ 5x + 9/x − 11.
Умножаем на x > 0 без изменения знака: 4x² − 1 ≤ 5x² + 9 − 11x, то есть (x − 1)(x − 10) ≥ 0.
в) Метод интервалов. Нули произведения: 1 и 10. На промежутках (−∞; 1), (1; 10), (10; +∞) его знаки соответственно +, −, +.
Следовательно, x ∈ (−∞; 1] ∪ [10; +∞). Точки 1 и 10 включаются, поскольку неравенство нестрогое и обе точки принадлежат ОДЗ.
Пересекаем с ОДЗ: точка 1/2 исключается, так как при ней аргумент первого логарифма равен нулю.
Ответ: (0,5; 1] ∪ [10; +∞).