В правильной треугольной призме сторона основания равна 6,
а боковое ребро равно 4. На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём .
а) Точки и — центры окружностей, описанных около треугольников и соответственно. Докажите, что прямая содержит точку пересечения медиан треугольника .
б) Найдите расстояние от точки до плоскости .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Доказательство.
Обозначим через D и E середины отрезков AB и MN соответственно, а через G — точку пересечения медиан треугольника CMN.
Четырёхугольник ABNM — прямоугольник, поэтому DE ∥ AM, DE = 3 и DE ⊥ (ABC).
В равностороннем треугольнике ABC центр описанной окружности O лежит на медиане CD, причём CO/CD = 2/3.
По свойству точки пересечения медиан треугольника CMN точка G лежит на CE и CG/CE = 2/3.
Следовательно, в треугольнике CDE по обратной теореме Фалеса OG ∥ DE. Прямая OO₁ также перпендикулярна основанию и параллельна DE.
Через O проходит единственная прямая, параллельная DE, поэтому G лежит на OO₁.
Ответ: точка пересечения медиан треугольника CMN принадлежит OO₁.
б) Вычисление расстояния.
Высота равностороннего треугольника ABC равна CD = √(6² − 3²) = 3√3. В прямоугольном треугольнике CDE получаем CE = √(27 + 9) = 6.
Прямая MN перпендикулярна CD, поскольку MN ∥ AB, и перпендикулярна DE, поскольку DE ⊥ (ABC). Значит, MN ⊥ (CDE).
Плоскость (CDE) содержит CC₁, так как CC₁ ∥ DE. Проведём в ней C₁H ⊥ CE, где H лежит на прямой CE.
Через H в плоскости (CMN) проведём прямую, параллельную MN. Она перпендикулярна плоскости (CDE), а значит, и C₁H. Поэтому C₁H перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости (CMN), то есть C₁H ⊥ (CMN).
Площадь треугольника CC₁E вычислим двумя способами: S = CC₁ · CD/2 = CE · C₁H/2, поскольку расстояние от E до CC₁ равно CD.
Отсюда C₁H = 4 · 3√3/6 = 2√3.
Ответ: 2√3.