Случайный вариант по профильной математике № zq2zna

Радиус OA перпендикулярен касательной CA, поэтому ∠OAC = 90°.

В треугольнике AOC угол AOC равен 180° − 90° − 62° = 28°.

Точка B лежит на отрезке OC, поэтому ∠AOB = ∠AOC = 28°.

Градусная мера меньшей дуги AB равна центральному углу AOB, то есть 28°.

Ответ: 28.

Координаты вектора находим, вычитая из координат конца координаты начала.
По рисунку a = (3 − 1; 5 − 1) = (2; 4), b = (6 − 2; 5 − 1) = (4; 4).
Складывая соответствующие координаты, получаем a + b = (6; 8).
Длина суммы равна √(6² + 8²) = √100 = 10.
Ответ: 10.

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине.

Поэтому каждая сторона основания отсечённой треугольной призмы вдвое меньше соответствующей стороны исходного основания.

Боковые рёбра призм одинаковы. Каждая новая боковая грань — параллелограмм с вдвое меньшим основанием и той же высотой, поэтому её площадь уменьшается вдвое.

Следовательно, площадь боковой поверхности отсечённой призмы равна 24/2 = 12.

Ответ: 12.

Вероятность купить сумку со скрытым дефектом равна 6/75 = 0,08.
События «сумка имеет дефект» и «сумка без дефектов» противоположны, сумма их вероятностей равна 1.
Поэтому вероятность купить сумку без дефектов: P = 1 − 0,08 = 0,92.
Ответ: 0,92.

При условии, что шестёрка не выпала, в каждом броске возможны пять значений: 1, 2, 3, 4, 5.
Всего имеется 5 · 5 = 25 равновозможных упорядоченных пар результатов.
Сумму 9 дают две пары: (4; 5) и (5; 4).
По классической формуле вероятности P = 2/25 = 0,08.
Ответ: 0,08.

Математическое ожидание — сумма всех выигрышей, делённая на число билетов (билеты без выигрыша дают 0).

$\frac{100\cdot 500+1000\cdot 100+5000\cdot 50+10000\cdot 10+50000\cdot 1}{10000}=\frac{550000}{10000}=55$.

Квадратный корень равен 3, поэтому подкоренное выражение равно 3².
Получаем: 44 − 5x = 9.
Тогда 5x = 35, откуда x = 7.
Проверка: √(44 − 5 · 7) = √9 = 3.
Ответ: 7.

Представим основания степеней как степени числа 2: 4 = 2², 16 = 2⁴.
Используем правила (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ и aᵐ ⋅ aⁿ = aᵐ⁺ⁿ.
4^(1/5) ⋅ 16^(9/10) = 2^(2/5) ⋅ 2^(36/10).
2^(2/5 + 18/5) = 2⁴ = 16.
Ответ: 16.

Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику.
В точках −2 и −1 график убывает, поэтому производные отрицательны.
В точках 3 и 4 график возрастает, поэтому производные положительны.
В точке −1 наклон графика вниз круче, чем в точке −2, поэтому производная там меньше.
Ответ: −1.

Вода перестанет вытекать, когда высота её столба станет равна нулю: H(t) = 0.
t²/72 − 2t/3 + 8 = 0.
Умножим уравнение на 72: t² − 48t + 576 = 0.
Получаем (t − 24)² = 0, откуда t = 24 минуты.
Ответ: 24.

Пусть x км/ч — скорость на обратном пути, x > 6. Тогда первоначальная скорость равна x − 6 км/ч.

Время движения равно расстоянию, делённому на скорость. С учётом остановки: 90/(x − 6) = 90/x + 4.

Умножим на x(x − 6): 90x = 90(x − 6) + 4x(x − 6), откуда x² − 6x − 135 = 0.

(x − 15)(x + 9) = 0. Корень −9 не удовлетворяет условию x > 6, поэтому x = 15.

Ответ: 15.

Обозначим ежегодный платёж через x рублей. При начислении 20% долг умножается на 1,2, после платежа уменьшается на x.

После первого платежа долг равен 419375 · 1,2 − x, после второго — 419375 · 1,2² − 2,2x.

Повторяя расчёт, после четвёртого платежа получаем: 419375 · 1,2⁴ − x(1 + 1,2 + 1,2² + 1,2³) = 0.

Следовательно, 869616 − 5,368x = 0, откуда x = 162000 рублей.

За четыре года банку выплатят 4 · 162000 = 648000 рублей.

Ответ: 648000.

а) Уравнение определено при всех действительных x.

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:

cos²x(2cos x + √3) + (2cos x + √3) = 0.

(cos²x + 1)(2cos x + √3) = 0.

Поскольку cos²x + 1 ≥ 1, уравнение равносильно равенству cos x = −√3/2.

Ответ: x = ±5π/6 + 2πk, k ∈ Z.

б) Отберём корни с помощью двойных неравенств.

Для x = 5π/6 + 2πk получаем −2π ≤ 5π/6 + 2πk ≤ −π/2, откуда −17/12 ≤ k ≤ −2/3.

Единственное целое значение k = −1 даёт x = −7π/6.

Для x = −5π/6 + 2πk получаем −2π ≤ −5π/6 + 2πk ≤ −π/2, откуда −7/12 ≤ k ≤ 1/6.

Единственное целое значение k = 0 даёт x = −5π/6.

Ответ: −7π/6; −5π/6.

а) Поскольку AC — диаметр окружности, ∠ABC = 90° по теореме об угле, опирающемся на диаметр.

В прямоугольном треугольнике ABC имеем AC = AB/sin 30° = 2√2, BC = AC · cos 30° = √6.

Обозначим через B₁ конец образующей, выходящей из B, на основании, содержащем C₁. Четырёхугольник BCC₁B₁ — прямоугольник, поэтому B₁C₁ ∥ BC, B₁C₁ = √6 и BB₁ = 2.

Прямая BC перпендикулярна пересекающимся прямым AB и BB₁, поскольку AB ⟂ BC, а BB₁ перпендикулярна плоскости основания. Следовательно, BC ⟂ (ABB₁).

Так как B₁C₁ ∥ BC, получаем B₁C₁ ⟂ AB₁. По теореме Пифагора AB₁ = √(AB² + BB₁²) = √(2 + 4) = √6.

Таким образом, треугольник AB₁C₁ прямоугольный и равнобедренный, поэтому ∠AC₁B₁ = 45°. В силу B₁C₁ ∥ BC это и есть угол между прямыми AC₁ и BC.

Ответ: а) угол равен 45°, что и требовалось доказать.

б) Радиус основания r = AC/2 = √2, высота цилиндра h = CC₁ = 2.

По формуле объёма цилиндра V = πr²h = π · 2 · 2 = 4π.

Ответ: б) 4π.

а) ОДЗ. Аргументы обоих логарифмов должны быть положительными:

(x − 6)(x − 7) > 0 и (x − 7)⁷/(x − 6) > 0.

Оба условия выполняются при x ∈ (−∞; 6) ∪ (7; +∞).

б) Равносильные преобразования. На ОДЗ по свойствам логарифмов исходное неравенство равносильно:

log₁₂(((x − 6)(x − 7))⁷) − log₁₂((x − 7)⁷/(x − 6)) ≤ 8.

Объединяя логарифмы и сокращая ненулевой множитель (x − 7)⁷, получаем log₁₂((x − 6)⁸) ≤ 8.

Поскольку основание 12 > 1, равносильно получаем (x − 6)⁸ ≤ 12⁸.

Это равносильно |x − 6| ≤ 12, то есть (x − 18)(x + 6) ≤ 0.

в) Метод интервалов и границы. Корни произведения: −6 и 18. Знаки на промежутках (−∞; −6), (−6; 18), (18; +∞) соответственно +, −, +.

Следовательно, −6 ≤ x ≤ 18. Точки −6 и 18 включаются, поскольку обращают неравенство в равенство и принадлежат ОДЗ.

Пересекаем полученный отрезок с ОДЗ; точки 6 и 7 исключены.

Ответ: [−6; 6) ∪ (7; 18].

а) Модель прибыли и её максимум.
При выпуске x тыс. единиц, где x ≥ 0, годовая прибыль в млн рублей равна:
P(x) = px − (0,5x² + 2x + 6) = −0,5x² + (p − 2)x − 6.
Если p ≤ 2, то при x ≥ 0 оба слагаемых −0,5x² и (p − 2)x неположительны, поэтому P(x) ≤ −6. Окупаемость невозможна.
При p > 2 выделим полный квадрат:
P(x) = −0,5(x − (p − 2))² + 0,5(p − 2)² − 6.
Квадрат неотрицателен, поэтому наибольшая прибыль достигается при x = p − 2 > 0 и равна P = 0,5(p − 2)² − 6.

б) Условие окупаемости.
Чтобы строительство окупилось не больше чем за 3 года, необходимо и достаточно, чтобы максимальная годовая прибыль была не меньше 78/3 = 26 млн рублей.
Получаем 0,5(p − 2)² − 6 ≥ 26, то есть (p − 2)² ≥ 64.
С учётом p > 2 это равносильно p − 2 ≥ 8, откуда p ≥ 10.
При p = 10 оптимальный выпуск равен 8 тыс. единиц, годовая прибыль составляет 0,5 · 8² − 6 = 26 млн рублей.
За 3 года прибыль составит 78 млн рублей, что покрывает стоимость строительства.
Ответ: 10 тыс. рублей за единицу.

а) Введём координаты: A(−a; 0), C(a; 0), B(0; h), где a > 0. Поскольку угол B острый, h > a.

Центр окружности, касающейся сторон AB и BC, равноудалён от их прямых, поэтому лежит на одной из биссектрис углов между ними: x = 0 или y = h.

На прямой y = h при x ≠ 0 основание перпендикуляра к одной из прямых AB, BC лежит за точкой B, а при x = 0 радиус равен нулю. Поэтому O(0; t).

Основание перпендикуляра из O к AB принадлежит отрезку AB. Его положение задаётся числом (a² + ht)/(a² + h²), лежащим между 0 и 1. Отсюда −a²/h ≤ t ≤ h.

Прямая AB имеет уравнение hx − ay + ah = 0. Поскольку CH проходит через C перпендикулярно AB, её уравнение ax + hy − a² = 0.

Расстояния от O до AB и CH равны радиусу окружности. По формуле расстояния от точки до прямой получаем a(h − t)/√(a² + h²) = |ht − a²|/√(a² + h²).

Следовательно, a(h − t) = |ht − a²|. При ht ≥ a² получаем t = a, а при ht < a² получаем t = −a.

Второй вариант невозможен: из h > a следует −a < −a²/h. Таким образом, O(0; a).

Пусть D — середина AC. Тогда AD = OD = a и ∠ADO = 90°. Прямоугольный треугольник ADO равнобедренный, поэтому ∠OAC = ∠OAD = 45°.

Ответ: ∠OAC = 45°, что и требовалось доказать.

б) Из AC = 6 следует a = 3. Поскольку h > a, имеем BO = h − a = 1, откуда h = 4.

По теореме Пифагора BC = √(a² + h²) = √(9 + 16) = 5.

Ответ: 5.

а) Сведение к квадратному уравнению.

Положим t = 5ˣ. Тогда t > 0, причём каждому положительному t соответствует ровно одно действительное x, поскольку показательная функция 5ˣ строго возрастает и принимает все положительные значения.

Исходное уравнение равносильно уравнению t² − (a + 6)t − (5 + 3|a|)t + (a + 6)(5 + 3|a|) = 0.

Разложив левую часть на множители, получим (t − (a + 6))(t − (5 + 3|a|)) = 0.

Таким образом, требуется ровно одно различное положительное значение среди t₁ = a + 6 и t₂ = 5 + 3|a|. Второе значение положительно при любом a.

б) Разбор случаев параметра.

Если a ≤ −6, то t₁ ≤ 0, а t₂ > 0. Поэтому исходное уравнение имеет единственное решение. Значение a = −6 также подходит: корень t = 0 недопустим.

Если a > −6, оба значения положительны. Единственное решение получается тогда и только тогда, когда они совпадают: a + 6 = 5 + 3|a|, то есть a + 1 = 3|a|.

При a ≥ 0 получаем a + 1 = 3a, откуда a = 1/2. Это значение удовлетворяет условиям рассматриваемого случая.

При −6 < a < 0 получаем a + 1 = −3a, откуда a = −1/4. Это значение также удовлетворяет условиям случая. При остальных a > −6 имеются два различных положительных корня t, следовательно, два решения x.

Ответ: a ∈ (−∞; −6] ∪ {−1/4; 1/2}.

а) Подойдут числа 5, 6, 7, 8, 10. Наименьшее произведение двух различных чисел равно 5 · 6 = 30, а наибольшее — 8 · 10 = 80.

Следовательно, произведение любых двух чисел больше 25 и меньше 85.

Ответ: да.

б) Предположим, что записаны шесть чисел a < b < c < d < e < f.

Если a ≤ 4, то из ab > 25 следует b ≥ 7. Поскольку числа различные и натуральные, e ≥ b + 3 ≥ 10, f ≥ b + 4 ≥ 11. Тогда ef ≥ 110, что противоречит условию.

Если a ≥ 5, то e ≥ a + 4 ≥ 9, f ≥ a + 5 ≥ 10. Тогда ef ≥ 90 — снова противоречие.

Все возможные значения a рассмотрены, поэтому шесть чисел записать нельзя.

Ответ: нет.

в) Пусть записаны четыре числа a < b < c < d. Достаточно учитывать условия ab > 25 и cd < 85: это наименьшее и наибольшее произведения пар.

Если c ≤ 6, то a ≤ 4 и b ≤ 5, откуда ab ≤ 20, что невозможно. Поэтому c ≥ 7.

Если c ≥ 9, то d ≥ 10 и cd ≥ 90, что также невозможно. Значит, c равно 7 или 8.

При c = 7 имеем a ≤ 5, b ≤ 6 и d ≤ 12, поскольку 7d < 85. Следовательно, a + b + c + d ≤ 5 + 6 + 7 + 12 = 30.

При c = 8 имеем a ≤ 6, b ≤ 7 и d ≤ 10, поскольку 8d < 85. Поэтому a + b + c + d ≤ 6 + 7 + 8 + 10 = 31.

Оценка 31 достигается на числах 6, 7, 8, 10: наименьшее произведение равно 42 > 25, наибольшее — 80 < 85, а сумма равна 31.

Ответ: 31.