Проверка уровня по профильной математике № vu25s4

Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°.
Данные углы не противоположные, поскольку 59° + 102° = 161° ≠ 180°.
Поэтому оставшиеся углы равны 180° − 59° = 121° и 180° − 102° = 78°.
Больший из них равен 121°.
Ответ: 121.

Скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат: a·b = x₁x₂ + y₁y₂.

Подставляем координаты: a·b = 5·14 + (−7)·1.

a·b = 70 − 7 = 63.

Ответ: 63.

Пусть r — общий радиус основания. По условию общая высота h = r.

По теореме Пифагора образующая конуса l = √(r² + h²) = r√2.

Площадь боковой поверхности конуса: πrl = πr²√2 = 3√2, откуда πr² = 3.

Площадь боковой поверхности цилиндра: S = 2πrh = 2πr² = 6.

Ответ: 6.

При жеребьёвке каждый учёный с одинаковой вероятностью выступает седьмым.
Всего учёных: 9 + 7 + 4 = 20. Из Португалии приехали 9 учёных.
По классическому определению вероятности P = 9/20 = 0,45.
Ответ: 0,45.

Вероятность промаха при каждом выстреле равна 1 − 0,8 = 0,2.
Требуется определённая последовательность: попадание, промах, промах, промах.
По правилу умножения вероятностей независимых событий P = 0,8 · 0,2 · 0,2 · 0,2 = 0,0064.
Ответ: 0,0064.

Математическое ожидание — сумма всех выигрышей, делённая на число билетов (билеты без выигрыша дают 0).

$\frac{100\cdot 500+1000\cdot 100+5000\cdot 50+10000\cdot 10+50000\cdot 1}{10000}=\frac{550000}{10000}=55$.

Функция y = x³ строго возрастает, поэтому равные кубы имеют равные основания.
Так как −125 = (−5)³, получаем x + 4 = −5.
Отсюда x = −5 − 4 = −9.
Ответ: −9.

Представим 25 как 5² и применим свойства степеней: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ.
5^(0,06) · 25^(0,97) = 5^(0,06) · (5²)^(0,97) = 5^(0,06) · 5^(1,94).
Складываем показатели: 5^(0,06 + 1,94) = 5² = 25.
Ответ: 25.

Точка минимума функции соответствует смене знака f′(x) с минуса на плюс.

На отрезке [−2; 6] график производной пересекает ось абсцисс снизу вверх один раз — при x = 3.

При x = −1 и x = 5 производная меняет знак с плюса на минус, что соответствует точкам максимума.

Следовательно, отрезку [−2; 6] принадлежит одна точка минимума функции f(x).

Ответ: 1.

Применим формулу скорости v = √(2la).

Возведём обе части в квадрат: v² = 2la, откуда l = v²/(2a).

Подставим данные: l = 120²/(2 · 9000) = 14400/18000 = 0,8 км.

Ответ: 0,8.

Пусть x км/ч — скорость лодки в неподвижной воде, x > 3. Скорости против течения и по течению равны x − 3 и x + 3.
Используем формулу t = S/v. Обратный путь занял на 6 часов меньше: 91/(x − 3) − 91/(x + 3) = 6.
546 = 6(x² − 9), откуда x² − 9 = 91.
x² = 100, поэтому x = 10 или x = −10.
Условию x > 3 удовлетворяет только x = 10.
Ответ: 10.

По рисунку A(−2; −4) лежит на гиперболе y = k/x, поэтому k = (−2) · (−4) = 8.

Прямая проходит через A и точку (0; −3), значит b = −3, a = (−3 + 4)/(0 + 2) = 1/2.

В точках пересечения 8/x = x/2 − 3, где x ≠ 0.

Умножая на 2x, получаем x² − 6x − 16 = 0, то есть (x + 2)(x − 8) = 0.

Корень x = −2 соответствует точке A, поэтому абсцисса точки B равна 8.

Ответ: 8.

Пусть S — сумма кредита в тыс. рублей. Сумма платежей равна сумме кредита и всех начисленных процентов.

За первые пять лет долг ежегодно уменьшается на d = (S − 600)/5. Сумма долгов перед начислением процентов за эти годы: 5S − 10d = 3S + 1200.

За следующие пять лет долг ежегодно уменьшается на 600/5 = 120. Сумма долгов перед начислением процентов: 600 + 480 + 360 + 240 + 120 = 1800.

Поэтому S + 0,2(3S + 1200 + 1800) = 2360.

1,6S + 600 = 2360; S = 1100 тыс. рублей.

Ответ: 1100.

а) Уравнение определено при всех действительных x.

Используем формулы cos(π − 2x) = −cos 2x и cos 2x = 1 − 2sin²x. Тогда 2 + 2cos(π − 2x) = 4sin²x.

Учитывая √8 = 2√2 и √12 = 2√3, получаем равносильное уравнение:

4sin²x + (2√2 − 2√3)sin x − √6 = 0.

Разложим левую часть на множители: (2sin x − √3)(2sin x + √2) = 0.

Следовательно, sin x = √3/2 или sin x = −√2/2.

Ответ: x = π/3 + 2πk; x = 2π/3 + 2πk; x = −π/4 + 2πk; x = −3π/4 + 2πk, k ∈ Z.

б) Для каждой серии решим двойное неравенство 3π ≤ x ≤ 9π/2, учитывая целочисленность k.

При x = π/3 + 2πk получаем 4/3 ≤ k ≤ 25/12. Поэтому k = 2 и x = 13π/3.

При x = 2π/3 + 2πk получаем 7/6 ≤ k ≤ 23/12. Целых k в этом промежутке нет.

При x = −π/4 + 2πk получаем 13/8 ≤ k ≤ 19/8. Поэтому k = 2 и x = 15π/4.

При x = −3π/4 + 2πk получаем 15/8 ≤ k ≤ 21/8. Поэтому k = 2 и x = 13π/4.

Ответ: 13π/4; 15π/4; 13π/3.

а) Доказательство. Центр квадрата O является серединой диагонали AC, а M — середина SC. Поэтому OM — средняя линия треугольника CSA, следовательно, OM ∥ SA.

Плоскости OMK и SAC различны: точка K лежит на BC и не лежит на AC, по которой плоскость SAC пересекает основание. Их общая прямая — OM.

Если бы SA пересекала плоскость OMK, точка пересечения принадлежала бы OM. Это невозможно, поскольку SA и OM — различные параллельные прямые.

Таким образом, SA параллельна плоскости OMK по признаку параллельности прямой и плоскости. Ответ: утверждение доказано.

б) Нахождение длины отрезка. Из BK : KC = 3 : 1 и BC = 2 получаем BK = 3/2 и KC = 1/2. Обозначим через L точку на AD, для которой AL = 1/2. Тогда DL = 3/2.

Докажем, что L, O и K лежат на одной прямой. Углы OAL и OCK равны 45°, так как диагональ квадрата делит его углы пополам. Кроме того, AO = CO и AL = CK. Следовательно, треугольники OAL и OCK равны по двум сторонам и углу между ними.

Поэтому ∠AOL = ∠COK. Поскольку OA и OC — противоположные лучи, а L и K лежат по разные стороны от AC, лучи OL и OK также противоположны. Значит, L лежит на прямой OK и принадлежит плоскости OMK.

В треугольнике DSA проведём через L прямую LN ∥ AS, где N лежит на DS. Так как LN ∥ OM, а L принадлежит плоскости OMK, вся прямая LN лежит в этой плоскости. Следовательно, отрезок LN является её пересечением с гранью SAD.

Треугольники DLN и DAS подобны по двум углам, поэтому LN/AS = DL/DA = (3/2)/2 = 3/4.

В квадрате AO = AC/2 = √2. Из прямоугольного треугольника SOA получаем AS = √(SO² + AO²) = √(14 + 2) = 4.

Следовательно, LN = 3AS/4 = 3. Ответ: 3.

а) ОДЗ. Знаменатель представим в виде квадрата: 16^(x²) − 4·4^(x²) + 4 = (4^(x²) − 2)².

Он равен нулю при 4^(x²) = 2. Так как 4^(x²) = 2^(2x²), получаем 2x² = 1, то есть x = ±√2/2.

Следовательно, ОДЗ: x ≠ −√2/2 и x ≠ √2/2.

б) Равносильные преобразования. На ОДЗ знаменатель положителен, поэтому исходное неравенство равносильно неравенству 8x³ − 4x² − 2x + 1 ≤ 0.

Разложим числитель на множители: 4x²(2x − 1) − (2x − 1) = (2x − 1)(4x² − 1) = (2x − 1)²(2x + 1).

в) Метод интервалов. Нули произведения: x = −1/2 и x = 1/2. При x ≠ 1/2 множитель (2x − 1)² положителен, поэтому знак произведения совпадает со знаком 2x + 1.

На интервалах (−∞; −1/2), (−1/2; 1/2), (1/2; +∞) знаки произведения соответственно −, +, +. Обе точки −1/2 и 1/2 обращают числитель в нуль.

Таким образом, до учёта ОДЗ получаем x ∈ (−∞; −1/2] ∪ {1/2}. Исключаем точку −√2/2; точка √2/2 в это множество не входит. Точки −1/2 и 1/2 принадлежат ОДЗ и включаются в ответ.

Ответ: (−∞; −√2/2) ∪ (−√2/2; −1/2] ∪ {1/2}.

а) Модель прибыли и её максимум.
При выпуске x тыс. единиц, где x ≥ 0, годовая прибыль в млн рублей равна:
P(x) = px − (0,5x² + 2x + 6) = −0,5x² + (p − 2)x − 6.
Если p ≤ 2, то при x ≥ 0 оба слагаемых −0,5x² и (p − 2)x неположительны, поэтому P(x) ≤ −6. Окупаемость невозможна.
При p > 2 выделим полный квадрат:
P(x) = −0,5(x − (p − 2))² + 0,5(p − 2)² − 6.
Квадрат неотрицателен, поэтому наибольшая прибыль достигается при x = p − 2 > 0 и равна P = 0,5(p − 2)² − 6.

б) Условие окупаемости.
Чтобы строительство окупилось не больше чем за 3 года, необходимо и достаточно, чтобы максимальная годовая прибыль была не меньше 78/3 = 26 млн рублей.
Получаем 0,5(p − 2)² − 6 ≥ 26, то есть (p − 2)² ≥ 64.
С учётом p > 2 это равносильно p − 2 ≥ 8, откуда p ≥ 10.
При p = 10 оптимальный выпуск равен 8 тыс. единиц, годовая прибыль составляет 0,5 · 8² − 6 = 26 млн рублей.
За 3 года прибыль составит 78 млн рублей, что покрывает стоимость строительства.
Ответ: 10 тыс. рублей за единицу.

а) Обозначим ∠ABC = β. Тогда ∠BAC = 2β.

Треугольник ABC остроугольный, поэтому центр описанной окружности O лежит внутри него. Центральный угол AOC и вписанный угол ABC опираются на одну дугу AC, следовательно, ∠AOC = 2β.

Точки A, O, C, P лежат на одной окружности. Точки O и P находятся по одну сторону от прямой AC, поэтому вписанные углы APC и AOC опираются на одну дугу и равны. Значит, ∠APC = 2β = ∠BAC.

Поскольку P лежит на отрезке BC, ∠PCA = ∠BCA. Следовательно, треугольники PAC и ABC подобны по двум углам; соответствие вершин: P ↔ A, A ↔ B, C ↔ C.

Ответ: треугольники PAC и ABC подобны.

б) Из подобия PC/AC = AC/BC, поэтому PC = AC²/BC = 4/√10.

Тогда BP = BC − PC = √10 − 4/√10 = 6/√10.

По подобию ∠PAC = ∠ABC = β. Поэтому ∠BAP = ∠BAC − ∠PAC = β, то есть AP — биссектриса треугольника ABC.

По теореме о биссектрисе AB/AC = BP/PC = (6/√10)/(4/√10) = 3/2.

Следовательно, AB = 2 · 3/2 = 3.

Ответ: 3.

а) Разложение на множители.
Перенесём все слагаемые в левую часть и сгруппируем их:
(x + 1)(ax³ − 2x² + (a³ − a)x − 2a² + 2) = 0.
Вынося общий множитель по группам, получаем равносильное уравнение:
(x + 1)(ax − 2)(x² + a² − 1) = 0.
Следовательно, корни исходного уравнения образуют объединение корней этих трёх множителей.

б) Разбор значений параметра.
При a = 0 уравнение принимает вид −2(x + 1)(x² − 1) = 0. Оно имеет ровно два различных корня: −1 и 1.
При |a| > 1 множитель x² + a² − 1 положителен при любом x. Остаются корни −1 и 2/a.
Они совпадают только при 2/a = −1, то есть при a = −2. Поэтому подходят все |a| > 1, кроме a = −2.
При a = 1 или a = −1 третий множитель равен x². Получаем три различных корня: −1, 0 и 2/a. Эти значения параметра не подходят.
При 0 < |a| < 1 получаем корни −1, 2/a, √(1 − a²), −√(1 − a²).
Последние два корня различны и лежат внутри интервала (−1; 1), а |2/a| > 2. Следовательно, все четыре корня различны; эти значения параметра не подходят.
Все действительные значения параметра рассмотрены.

Ответ: a ∈ (−∞; −2) ∪ (−2; −1) ∪ {0} ∪ (1; +∞).

а) Подходит пара 1935 и 270: 1935 + 270 = 2205.

Каждая заданная цифра использована ровно один раз. Оба числа оканчиваются на 0 или 5, а суммы их цифр равны 18 и 9. Значит, оба числа делятся на 5 и на 9, следовательно, на 45.

Ответ: да.

б) Найдём все возможные трёхзначные числа в такой паре. Последние цифры двух чисел — 0 и 5, поскольку оба числа кратны 5, а повторять цифры нельзя.

Если трёхзначное число оканчивается на 0, его первые две цифры выбираются из 1, 2, 3, 7, 9: цифра 5 занята последним разрядом другого числа.

Сумма этих двух цифр должна делиться на 9. Она не больше 16, поэтому равна 9. Единственная подходящая пара — 2 и 7. Получаем 270 или 720.

Если трёхзначное число оканчивается на 5, первые две цифры также выбираются из 1, 2, 3, 7, 9. Их сумма вместе с 5 должна делиться на 9, поэтому сумма первых двух цифр равна 4 или 13.

Сумму 4 даёт только пара 1 и 3; сумму 13 никакая пара из указанных цифр не даёт. Получаем 135 или 315.

Таким образом, трёхзначное число — одно из чисел 270, 720, 135, 315. Ни одно из них не содержит цифры 9, поэтому четырёхзначное число обязано её содержать.

Но при сумме 3435 четырёхзначное число соответственно равно 3165, 2715, 3300 или 3120. Ни одно из этих чисел не содержит цифры 9. Получено противоречие.

Ответ: нет.

в) В разряде единиц стоят 0 и 5. Остальные цифры 1, 2, 3, 7, 9 занимают один разряд тысяч, два разряда сотен и два разряда десятков.

Чтобы получить верхнюю оценку суммы, наибольшую цифру 9 поставим в разряд тысяч, следующие по величине 7 и 3 — в разряды сотен, а 2 и 1 — в разряды десятков.

Такая расстановка даёт наибольшую сумму без учёта делимости на 9: если большая цифра стоит в разряде с меньшим весом, обмен с меньшей цифрой увеличивает сумму на произведение разности цифр и разности весов.

Следовательно, сумма любой допустимой пары не превосходит 9·1000 + (7 + 3)·100 + (2 + 1)·10 + 5 = 10035.

Оценка достигается для пары 9315 и 720. Все цифры использованы ровно один раз, числа оканчиваются на 5 и 0, суммы их цифр равны 18 и 9, поэтому оба числа кратны 45. Их сумма равна 10035.

Ответ: 10035.