а) Решите уравнение
.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Решение уравнения.
Уравнение определено при всех действительных x.
По формулам приведения cos(3π/2 + x) = sin x; также cos 2x = 1 − 2sin²x.
Подставим эти выражения: 1 − 2sin²x − √2 sin x − 1 = 0.
Равносильно: sin x(2sin x + √2) = 0.
Следовательно, sin x = 0 или sin x = −√2/2.
Первое уравнение даёт x = πk, второе — x = −π/4 + 2πk или x = −3π/4 + 2πk, k ∈ Z.
Ответ а): x = πk; x = −π/4 + 2πk; x = −3π/4 + 2πk, k ∈ Z.
б) Отбор корней на отрезке [3π/2; 3π].
Для x = πk: 3π/2 ≤ πk ≤ 3π, откуда 3/2 ≤ k ≤ 3. Целые значения k = 2 и k = 3 дают x = 2π и x = 3π.
Для x = −π/4 + 2πk: 3π/2 ≤ −π/4 + 2πk ≤ 3π, откуда 7/8 ≤ k ≤ 13/8. Единственное целое значение k = 1 даёт x = 7π/4.
Для x = −3π/4 + 2πk: 3π/2 ≤ −3π/4 + 2πk ≤ 3π, откуда 9/8 ≤ k ≤ 15/8. Целых значений k нет.
Ответ б): 7π/4; 2π; 3π.