а) Решите уравнение
.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Уравнение определено при всех действительных x.
Положим t = 9^(cos x), t > 0. Тогда 81^(cos x) = t², и уравнение принимает вид 9t² − 28t + 3 = 0.
Разложим на множители: (9t − 1)(t − 3) = 0. Следовательно, t = 1/9 или t = 3.
Возвращаясь к замене, получаем 9^(cos x) = 9^(−1) или 9^(cos x) = 9^(1/2).
Из строгого возрастания показательной функции следует: cos x = −1 или cos x = 1/2.
Первое уравнение даёт x = π + 2πk, второе — x = ±π/3 + 2πk, где k ∈ Z.
Ответ: π + 2πk, k ∈ Z; ±π/3 + 2πk, k ∈ Z.
б) Для каждой серии решим двойное неравенство 5π/2 ≤ x ≤ 4π.
Для x = π + 2πk: 5/2 ≤ 1 + 2k ≤ 4, откуда 3/4 ≤ k ≤ 3/2. Единственное целое значение k = 1 даёт x = 3π.
Для x = π/3 + 2πk: 5/2 ≤ 1/3 + 2k ≤ 4, откуда 13/12 ≤ k ≤ 11/6. Целых значений k нет.
Для x = −π/3 + 2πk: 5/2 ≤ −1/3 + 2k ≤ 4, откуда 17/12 ≤ k ≤ 13/6. Единственное целое значение k = 2 даёт x = 11π/3.
Ответ: 3π; 11π/3.