а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Уравнение определено при всех действительных x.
Используем формулы sin(2π − x) = −sin x и sin 2x = 2sin x cos x, переносим правую часть влево:
2sin²x − √2 sin x + 2√3 sin x cos x − √6 cos x = 0.
Группируем слагаемые: sin x(2sin x − √2) + √3 cos x(2sin x − √2) = 0.
Получаем равносильное уравнение (2sin x − √2)(sin x + √3 cos x) = 0.
Первый множитель равен нулю при sin x = √2/2, то есть x = π/4 + 2πk или x = 3π/4 + 2πk, k ∈ Z.
Для второго множителя используем формулу сложения: sin x + √3 cos x = 2sin(x + π/3).
Поэтому sin(x + π/3) = 0, откуда x = −π/3 + πk, k ∈ Z.
Ответ: π/4 + 2πk, k ∈ Z; 3π/4 + 2πk, k ∈ Z; −π/3 + πk, k ∈ Z.
б) Отберём корни с помощью двойных неравенств.
Для x = π/4 + 2πk: −π ≤ π/4 + 2πk ≤ π/2, откуда −5/8 ≤ k ≤ 1/8. Только k = 0, поэтому x = π/4.
Для x = 3π/4 + 2πk: −π ≤ 3π/4 + 2πk ≤ π/2, откуда −7/8 ≤ k ≤ −1/8. Целых значений k нет.
Для x = −π/3 + πk: −π ≤ −π/3 + πk ≤ π/2, откуда −2/3 ≤ k ≤ 5/6. Только k = 0, поэтому x = −π/3.
Ответ: −π/3; π/4.