а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Уравнение определено при всех действительных x.
Используем формулы cos(π − 2x) = −cos 2x и cos 2x = 1 − 2sin²x. Тогда 2 + 2cos(π − 2x) = 4sin²x.
Учитывая √8 = 2√2 и √12 = 2√3, получаем равносильное уравнение:
4sin²x + (2√2 − 2√3)sin x − √6 = 0.
Разложим левую часть на множители: (2sin x − √3)(2sin x + √2) = 0.
Следовательно, sin x = √3/2 или sin x = −√2/2.
Ответ: x = π/3 + 2πk; x = 2π/3 + 2πk; x = −π/4 + 2πk; x = −3π/4 + 2πk, k ∈ Z.
б) Для каждой серии решим двойное неравенство 3π ≤ x ≤ 9π/2, учитывая целочисленность k.
При x = π/3 + 2πk получаем 4/3 ≤ k ≤ 25/12. Поэтому k = 2 и x = 13π/3.
При x = 2π/3 + 2πk получаем 7/6 ≤ k ≤ 23/12. Целых k в этом промежутке нет.
При x = −π/4 + 2πk получаем 13/8 ≤ k ≤ 19/8. Поэтому k = 2 и x = 15π/4.
При x = −3π/4 + 2πk получаем 15/8 ≤ k ≤ 21/8. Поэтому k = 2 и x = 13π/4.
Ответ: 13π/4; 15π/4; 13π/3.