Решите неравенство .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) ОДЗ и замена переменной.
Логарифмы определены при x > 0; знаменатели не равны нулю при log₅x ≠ 2 и log₅x ≠ −2.
Таким образом, ОДЗ: x > 0, x ≠ 25, x ≠ 1/25.
Положим t = log₅x. Тогда log₅(25x) = t + 2, log₅(x⁴) = 4t и t ≠ ±2.
б) Равносильные преобразования.
Исходное неравенство принимает вид (t + 2)/(t − 2) + (t − 2)/(t + 2) ≥ (6 − 4t)/(t² − 4).
Перенесём правую часть влево и приведём дроби к общему знаменателю:
((t + 2)² + (t − 2)² − 6 + 4t)/(t² − 4) ≥ 0.
После раскрытия скобок получаем 2(t + 1)²/((t − 2)(t + 2)) ≥ 0.
в) Метод интервалов и ответ.
Критические точки: −2, −1, 2. Точки −2 и 2 исключены по ОДЗ.
На интервалах (−∞; −2), (−2; −1), (−1; 2), (2; +∞) знаки дроби соответственно: +, −, −, +.
При t = −1 числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, поэтому эта точка входит в решение.
Следовательно, t ∈ (−∞; −2) ∪ {−1} ∪ (2; +∞).
Поскольку функция 5ᵗ возрастает, получаем 0 < x < 1/25, или x = 1/5, или x > 25.
Ответ: (0; 1/25) ∪ {1/5} ∪ (25; +∞).