Решите неравенство
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Замена переменной и ОДЗ.
Положим t = 11ˣ. Тогда t > 0 и 121ˣ = t².
Знаменатель t² − 16t + 60 = (t − 6)(t − 10), поэтому ОДЗ: t > 0, t ≠ 6, t ≠ 10.
Исходное неравенство равносильно t − 6 − (24t − 244)/((t − 6)(t − 10)) − 1/(t − 10) ≤ 0.
б) Равносильное преобразование.
Приведём выражение к общему знаменателю: ((t − 6)²(t − 10) − (24t − 244) − (t − 6))/((t − 6)(t − 10)) ≤ 0.
Числитель равен (t − 6)²(t − 10) − 25t + 250 = (t − 10)((t − 6)² − 25).
Так как (t − 6)² − 25 = (t − 11)(t − 1), на ОДЗ сокращаем ненулевой множитель t − 10.
Получаем равносильное неравенство (t − 1)(t − 11)/(t − 6) ≤ 0 при t > 0, t ≠ 6, t ≠ 10.
в) Метод интервалов и возвращение к x.
Нули числителя: 1 и 11; нуль знаменателя: 6. Дополнительно исключена точка 10.
На интервалах (0; 1), (1; 6), (6; 10), (10; 11), (11; +∞) знаки дроби соответственно: −, +, −, −, +.
Точки 1 и 11 включаются, поскольку дробь равна нулю; точки 6 и 10 исключаются по ОДЗ.
Следовательно, t ∈ (0; 1] ∪ (6; 10) ∪ (10; 11].
Функция 11ˣ возрастает, поэтому 0 < 11ˣ ≤ 1 равносильно x ≤ 0; условие 6 < 11ˣ < 10 равносильно log_11 6 < x < log_11 10; условие 10 < 11ˣ ≤ 11 равносильно log_11 10 < x ≤ 1.
Ответ: (−∞; 0] ∪ (log_11 6; log_11 10) ∪ (log_11 10; 1].