Решите неравенство
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Замена переменной и ОДЗ.
Пусть t = 2ˣ, тогда t > 0. Имеем 8^(x+2/3) = 4t³, 4^(x+1/2) = 2t², 2^(x+1) = 2t.
Знаменатель первой дроби: 2t²−9t+4 = (2t−1)(t−4).
Все знаменатели отличны от нуля при t ≠ 1/2, t ≠ 2, t ≠ 4.
Ответ: ОДЗ — x ≠ −1, x ≠ 1, x ≠ 2.
б) Равносильные преобразования.
После замены исходное неравенство принимает вид (4t³−18t²+13t−13)/((2t−1)(t−4)) ≤ 2t−1/(t−2)+3/(2t−1).
Переносим правую часть влево. На ОДЗ получаем равносильное неравенство:
(5t−13)/((2t−1)(t−4))+1/(t−2)−3/(2t−1) ≤ 0.
Объединяя первую и третью дроби, получаем (5t−13−3(t−4))/((2t−1)(t−4)) = 1/(t−4).
Сокращение допустимо, поскольку t ≠ 1/2; это ограничение сохраняем.
Таким образом, 1/(t−4)+1/(t−2) ≤ 0, то есть 2(t−3)/((t−4)(t−2)) ≤ 0.
Ответ: требуется решить последнее неравенство при t > 0 и t ≠ 1/2, 2, 4.
в) Метод интервалов и возвращение к x.
Критические точки дроби: 2, 3, 4. На интервалах (0; 2), (2; 3), (3; 4), (4; +∞) её знаки соответственно −, +, −, +.
Точка 3 включается как нуль числителя; точки 2 и 4 исключаются как нули знаменателя. Дополнительно исключаем t = 1/2 по ОДЗ.
Получаем t ∈ (0; 1/2) ∪ (1/2; 2) ∪ [3; 4).
Поскольку функция 2ˣ возрастает, этим промежуткам соответствуют x < −1, −1 < x < 1 и log₂3 ≤ x < 2.
Ответ: (−∞; −1) ∪ (−1; 1) ∪ [log_2 3; 2).