Решите неравенство
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) ОДЗ и разложение числителя.
ОДЗ: x ≠ 1.
Положим t = 3^x, тогда t > 0, 9^x = t² и 3^(x + 2) = 9t.
Числитель исходной дроби равен t³ − 15t² + 63t − 81.
Разложим его на множители: t³ − 15t² + 63t − 81 = (t − 3)(t² − 12t + 27) = (t − 3)²(t − 9).
Следовательно, исходное неравенство равносильно (3^x − 3)²(3^x − 9)/(x − 1) ≤ 0.
При x ≠ 1 множитель (3^x − 3)² строго положителен. Деление на него даёт равносильное неравенство (3^x − 9)/(x − 1) ≤ 0.
б) Метод интервалов и граничные точки.
Поскольку функция 3^x возрастает, числитель отрицателен при x < 2, равен нулю при x = 2 и положителен при x > 2.
Знаменатель отрицателен при x < 1 и положителен при x > 1.
Поэтому на интервалах (−∞; 1), (1; 2), (2; +∞) знаки дроби соответственно: плюс, минус, плюс.
Точку x = 1 исключаем по ОДЗ; точку x = 2 включаем, поскольку дробь равна нулю.
Ответ: (1; 2].