Решите неравенство
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) ОДЗ. Для существования логарифмов необходимо x > 0. Знаменатели не должны равняться нулю: log₂x ≠ 0 и log₂(x²) ≠ 0. Итак, x > 0, x ≠ 1.
б) Равносильные преобразования. На ОДЗ log₂(4/x) = 2 − log₂x и log₂(x²) = 2log₂x.
Введём t = log₂x, где t ≠ 0. Тогда исходное неравенство равносильно: 4/t − (2 − t) ≤ 19/t.
Переносим все слагаемые влево и приводим к общему знаменателю: t − 2 − 15/t ≤ 0, то есть (t − 5)(t + 3)/t ≤ 0.
в) Метод интервалов. Критические точки: −3, 0, 5. Точки −3 и 5 — нули числителя; точка 0 исключена из области допустимых значений.
Знаки дроби на интервалах (−∞; −3), (−3; 0), (0; 5), (5; +∞) соответственно: −, +, −, +.
Следовательно, t ∈ (−∞; −3] ∪ (0; 5]. Нули числителя включены, поскольку неравенство нестрогое.
Возвращаемся к x. Так как основание 2 больше 1, log₂x ≤ −3 равносильно 0 < x ≤ 1/8, а 0 < log₂x ≤ 5 равносильно 1 < x ≤ 32.
Ответ: (0; 1/8] ∪ (1; 32].