Решите неравенство .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) ОДЗ: x ∈ ℝ, поскольку все показательные выражения определены при любом действительном x.
б) Используем свойства степеней: 2·6^(x+1) = 12·6^x, 3·4^(x+1) = 12·4^x, 2^(x+5) = 32·2^x.
Группируя слагаемые, получаем равносильное неравенство:
3^x·(4^x − 12·2^x + 32) − 2^x·(4^x − 12·2^x + 32) ≤ 0.
Так как 4^x = (2^x)², разложение квадратного трёхчлена на множители даёт:
(3^x − 2^x)(2^x − 4)(2^x − 8) ≤ 0.
в) Метод интервалов. Первый множитель равен нулю при (3/2)^x = 1, то есть при x = 0. Остальные множители обращаются в нуль при x = 2 и x = 3.
Поскольку 3^x − 2^x = 2^x·((3/2)^x − 1), его знак отрицателен при x < 0 и положителен при x > 0. Функция 2^x возрастает, поэтому знаки двух других множителей меняются соответственно в точках 2 и 3 с минуса на плюс.
Знаки произведения на интервалах (−∞; 0), (0; 2), (2; 3), (3; +∞) соответственно: −, +, −, +.
Все три граничные точки входят в решение: выражение в них равно нулю, а неравенство нестрогое.
Ответ: (−∞; 0] ∪ [2; 3].