Решите неравенство .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) ОДЗ. Аргументы всех логарифмов должны быть положительны.
8x² + 7 > 0 при любом x; x² + x + 1 = (x + 1/2)² + 3/4 > 0.
Остаётся x/(x + 5) + 7 = (8x + 35)/(x + 5) > 0. Методом интервалов получаем ОДЗ: x ∈ (−∞; −5) ∪ (−35/8; +∞).
б) Равносильные преобразования. На ОДЗ объединим разность логарифмов в логарифм частного. Поскольку основание 11 > 1, логарифмическая функция возрастает, поэтому неравенство равносильно:
(8x² + 7)/(x² + x + 1) ≥ (8x + 35)/(x + 5).
Переносим правую часть влево и приводим к общему знаменателю:
−3x(x + 12)/((x² + x + 1)(x + 5)) ≥ 0.
Так как x² + x + 1 > 0, получаем равносильное неравенство x(x + 12)/(x + 5) ≤ 0.
в) Метод интервалов и границы. Критические точки: −12, −5, 0. Знаки дроби на последовательных промежутках: −, +, −, +. Поэтому x ∈ (−∞; −12] ∪ (−5; 0]. Точки −12 и 0 включаются, поскольку обращают числитель в ноль; −5 исключается.
Пересекаем полученное множество с ОДЗ. Точка −35/8 исключается, поскольку при ней аргумент правого логарифма равен нулю.
Ответ: (−∞; −12] ∪ (−35/8; 0].