Решите неравенство
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) ОДЗ. Для существования логарифмов необходимо x² > 0 и 2x² − 10x + 12,5 > 0.
Первое условие даёт x ≠ 0. Поскольку 2x² − 10x + 12,5 = 2(x − 2,5)², второе условие равносильно x ≠ 2,5.
Таким образом, ОДЗ: x ∈ ℝ, x ≠ 0, x ≠ 2,5.
б) Равносильные преобразования. На ОДЗ знаменатель (log₆(2x² − 10x + 12,5))² + 1 ≥ 1, поэтому он положителен. Неравенство равносильно log₂(x²) − log₃(x²) ≥ 0.
По формуле перехода к основанию 2 имеем log₃(x²) = log₂(x²)/log₂3.
Следовательно, (1 − 1/log₂3) · log₂(x²) ≥ 0.
Так как log₂3 > 1, коэффициент в скобках положителен. Получаем log₂(x²) ≥ 0.
Логарифмическая функция с основанием 2 возрастает, поэтому последнее неравенство равносильно x² ≥ 1, то есть (x − 1)(x + 1) ≥ 0.
в) Метод интервалов и границы. Нули произведения: −1 и 1. Знаки на промежутках (−∞; −1), (−1; 1), (1; +∞) соответственно +, −, +.
Поэтому x ∈ (−∞; −1] ∪ [1; +∞). Точки −1 и 1 входят в ОДЗ и дают равенство. С учётом ОДЗ исключаем точку 2,5; точка 0 в полученное множество не входит.
Ответ: (−∞; −1] ∪ [1; 2,5) ∪ (2,5; +∞).