Решите неравенство .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) ОДЗ и преобразование неравенства.
Логарифмы определены при x > 0. Положим t = log₃ x. Тогда log₃(9x) = 2 + t, log₃(x⁴) = 4t.
Знаменатель равен t² − 4t = t(t − 4), поэтому t ≠ 0 и t ≠ 4. Следовательно, ОДЗ: x > 0, x ≠ 1, x ≠ 81.
На ОДЗ исходное неравенство равносильно (2t − 9)/(t(t − 4)) ≤ 1.
Перенесём единицу влево и приведём к общему знаменателю: (−t² + 6t − 9)/(t(t − 4)) ≤ 0.
Получаем равносильное неравенство (t − 3)²/(t(t − 4)) ≥ 0. Ответ пункта а): требуется решить это неравенство при t ≠ 0, 4.
б) Метод интервалов и возвращение к x.
Критические точки: 0, 3, 4. Числитель положителен при t ≠ 3 и равен нулю при t = 3.
Знаменатель положителен на (−∞; 0) и (4; +∞), отрицателен на (0; 4). Поэтому знаки дроби на интервалах (−∞; 0), (0; 3), (3; 4), (4; +∞) соответственно: +, −, −, +.
Точку t = 3 включаем, поскольку дробь равна нулю; точки 0 и 4 исключаем по ОДЗ. Получаем t ∈ (−∞; 0) ∪ {3} ∪ (4; +∞).
Так как функция x = 3ᵗ возрастает, имеем 0 < x < 1, либо x = 27, либо x > 81.
Ответ: (0; 1) ∪ {27} ∪ (81; +∞).