Решите неравенство .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) ОДЗ и замена переменной. Требуется x > 0; все знаменатели должны быть отличны от нуля.
Пусть t = log₄x. Тогда log₄(64x) = t + 3, log₄(x⁴) = 4t.
Условия на знаменатели: t − 3 ≠ 0, t + 3 ≠ 0, t² − 9 ≠ 0. Следовательно, t ≠ −3 и t ≠ 3, то есть x ≠ 1/64 и x ≠ 64.
б) Равносильные преобразования. На ОДЗ получаем (t + 3)/(t − 3) + (t − 3)/(t + 3) ≥ (4t + 16)/(t² − 9).
Перенесём правую часть влево и приведём дроби к общему знаменателю: ((t + 3)² + (t − 3)² − 4t − 16)/(t² − 9) ≥ 0.
Упростив числитель, получаем равносильное неравенство 2(t − 1)²/((t − 3)(t + 3)) ≥ 0.
в) Метод интервалов и границы. Критические точки: −3, 1, 3. Точки −3 и 3 исключены из ОДЗ.
На интервалах (−∞; −3), (−3; 1), (1; 3), (3; +∞) знаки дроби соответственно +, −, −, +. При t = 1 дробь равна нулю, поэтому эта точка входит в решение.
Следовательно, t ∈ (−∞; −3) ∪ {1} ∪ (3; +∞).
Возвращаемся к x = 4ᵗ. Поскольку показательная функция с основанием 4 возрастает, получаем 0 < x < 1/64, либо x = 4, либо x > 64.
Ответ: (0; 1/64) ∪ {4} ∪ (64; +∞).