Решите неравенство
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) ОДЗ.
Для существования логарифмов необходимо: x³ − 3x² + 3x − 1 > 0 и x² − 1 > 0.
Первое выражение равно (x − 1)³, поэтому первое условие равносильно x > 1. При x > 1 второе условие также выполнено.
Итак, ОДЗ: x > 1.
б) Равносильные преобразования на ОДЗ.
По свойствам логарифмов log₈((x − 1)³) = 3log₈(x − 1) = log₂(x − 1).
Разложим x² − 1 = (x − 1)(x + 1). На ОДЗ оба множителя положительны, поэтому log₂(x² − 1) = log₂(x − 1) + log₂(x + 1).
Исходное неравенство равносильно log₂(x − 1) ≥ log₂(x − 1) + log₂(x + 1) − 5.
Вычитая log₂(x − 1), получаем log₂(x + 1) ≤ 5.
Поскольку основание 2 > 1, логарифмическая функция возрастает: x + 1 ≤ 2⁵, то есть x ≤ 31.
в) Метод интервалов и граничные точки.
Пересекаем x ≤ 31 с ОДЗ x > 1. Точки 1 и 31 разбивают числовую прямую на интервалы; оба условия выполнены только при 1 < x ≤ 31.
Точка 1 исключена по ОДЗ. Точка 31 входит в решение, поскольку принадлежит ОДЗ и обращает неравенство в равенство.
Ответ: (1; 31].