Задание 16 ЕГЭ по профильной математике

а) ОДЗ. Аргументы обоих логарифмов должны быть положительными.

Разложим многочлен: x³ − 3x² − 9x + 27 = (x − 3)²(x + 3).

Поэтому (x − 3)²(x + 3) > 0 и (x − 3)⁴ > 0. Получаем ОДЗ: x > −3, x ≠ 3.

б) Равносильные преобразования. По формуле перехода к новому основанию log₀,₂₅((x − 3)⁴) = (1/2)log₀,₅((x − 3)⁴) = log₀,₅((x − 3)²).

Так как 0 < 0,5 < 1, логарифмическая функция убывает. На ОДЗ исходное неравенство равносильно (x − 3)²(x + 3) ≥ (x − 3)².

Переносим всё в левую часть: (x − 3)²(x + 2) ≥ 0.

в) Метод интервалов и границы. Нули произведения: −2 и 3. На интервалах (−∞; −2), (−2; 3), (3; +∞) знаки произведения соответственно −, +, +.

Точка −2 входит в решение: она принадлежит ОДЗ и обращает произведение в нуль. Точка 3 исключается по ОДЗ.

Пересечение найденного множества с ОДЗ даёт [−2; 3) ∪ (3; +∞).

Ответ: [−2; 3) ∪ (3; +∞).

а) ОДЗ и замена переменной. Требуется x > 0; все знаменатели должны быть отличны от нуля.

Пусть t = log₄x. Тогда log₄(64x) = t + 3, log₄(x⁴) = 4t.

Условия на знаменатели: t − 3 ≠ 0, t + 3 ≠ 0, t² − 9 ≠ 0. Следовательно, t ≠ −3 и t ≠ 3, то есть x ≠ 1/64 и x ≠ 64.

б) Равносильные преобразования. На ОДЗ получаем (t + 3)/(t − 3) + (t − 3)/(t + 3) ≥ (4t + 16)/(t² − 9).

Перенесём правую часть влево и приведём дроби к общему знаменателю: ((t + 3)² + (t − 3)² − 4t − 16)/(t² − 9) ≥ 0.

Упростив числитель, получаем равносильное неравенство 2(t − 1)²/((t − 3)(t + 3)) ≥ 0.

в) Метод интервалов и границы. Критические точки: −3, 1, 3. Точки −3 и 3 исключены из ОДЗ.

На интервалах (−∞; −3), (−3; 1), (1; 3), (3; +∞) знаки дроби соответственно +, −, −, +. При t = 1 дробь равна нулю, поэтому эта точка входит в решение.

Следовательно, t ∈ (−∞; −3) ∪ {1} ∪ (3; +∞).

Возвращаемся к x = 4ᵗ. Поскольку показательная функция с основанием 4 возрастает, получаем 0 < x < 1/64, либо x = 4, либо x > 64.

Ответ: (0; 1/64) ∪ {4} ∪ (64; +∞).

а) ОДЗ и равносильное преобразование.
Аргументы логарифмов должны быть положительными: 9x > 0 и 64x > 0, поэтому x > 0.
При x > 0 имеем |x| = x, а знаменатель равен 5x² − x = x(5x − 1).
Следовательно, ОДЗ: x > 0, x ≠ 1/5.
На ОДЗ исходное неравенство равносильно (log₃(9x) · log₄(64x))/(x(5x − 1)) ≤ 0.

б) Метод интервалов.
Так как основания 3 и 4 больше 1, знак каждого логарифма совпадает со знаком его аргумента минус 1.
log₃(9x) = 0 при x = 1/9; слева от этой точки логарифм отрицателен, справа положителен.
log₄(64x) = 0 при x = 1/64; слева от этой точки логарифм отрицателен, справа положителен.
Знаменатель x(5x − 1) отрицателен при 0 < x < 1/5 и положителен при x > 1/5.
Критические точки расположены в порядке: 0 < 1/64 < 1/9 < 1/5.
На интервалах (0; 1/64), (1/64; 1/9), (1/9; 1/5), (1/5; +∞) знаки дроби соответственно: −, +, −, +.

в) Граничные точки и ответ.
Точки 1/64 и 1/9 включаем: числитель равен нулю, знаменатель отличен от нуля, а неравенство нестрогое.
Точки 0 и 1/5 исключаем по ОДЗ.
Ответ: (0; 1/64] ∪ [1/9; 1/5).

а) ОДЗ и равносильное преобразование.
Аргументы логарифмов должны быть положительными: 8x > 0 и 27x > 0, поэтому x > 0.
При x > 0 имеем |x| = x, а знаменатель равен x² − x = x(x − 1).
Следовательно, ОДЗ: x > 0, x ≠ 1.
На ОДЗ исходное неравенство равносильно (log₂(8x) · log₃(27x))/(x(x − 1)) ≤ 0.

б) Метод интервалов.
Так как основания 2 и 3 больше 1, знак каждого логарифма совпадает со знаком его аргумента минус 1.
log₂(8x) = 0 при x = 1/8; слева от этой точки логарифм отрицателен, справа положителен.
log₃(27x) = 0 при x = 1/27; слева от этой точки логарифм отрицателен, справа положителен.
Знаменатель x(x − 1) отрицателен при 0 < x < 1 и положителен при x > 1.
Критические точки расположены в порядке: 0 < 1/27 < 1/8 < 1.
На интервалах (0; 1/27), (1/27; 1/8), (1/8; 1), (1; +∞) знаки дроби соответственно: −, +, −, +.

в) Граничные точки и ответ.
Точки 1/27 и 1/8 включаем: числитель равен нулю, знаменатель отличен от нуля, а неравенство нестрогое.
Точки 0 и 1 исключаем по ОДЗ.
Ответ: (0; 1/27] ∪ [1/8; 1).

а) ОДЗ и замена переменной.
Для существования log₄ x необходимо x > 0. Знаменатель не равен нулю: (log₄ x)² − 9 ≠ 0, то есть x ≠ 1/64 и x ≠ 64.
Положим t = log₄ x. Тогда t ≠ −3, t ≠ 3, а log₄(16x⁴) = 2 + 4t.

б) Равносильные преобразования.
Исходное неравенство принимает вид (4t + 13)/(t² − 9) ≥ −1.
Переносим −1 в левую часть и приводим к общему знаменателю:
(t² + 4t + 4)/(t² − 9) ≥ 0, то есть (t + 2)²/((t − 3)(t + 3)) ≥ 0.

в) Метод интервалов и возврат к x.
Критические точки: −3, −2, 3. На интервалах (−∞; −3), (−3; −2), (−2; 3), (3; +∞) знаки дроби соответственно +, −, −, +.
При t = −2 дробь равна нулю, поэтому эта точка входит в решение; точки −3 и 3 исключены по ОДЗ.
Следовательно, t ∈ (−∞; −3) ∪ {−2} ∪ (3; +∞).
Поскольку функция x = 4ᵗ возрастает, получаем x ∈ (0; 1/64) ∪ {1/16} ∪ (64; +∞).
Ответ: (0; 1/64) ∪ {1/16} ∪ (64; +∞).

а) ОДЗ и замена переменной.
Логарифм log₄ x определён при x > 0; тогда аргумент 64x⁶ также положителен.
Положим t = log₄ x. По свойствам логарифмов log₄(64x⁶) = 3 + 6t.
Знаменатели должны быть ненулевыми: t − 3 ≠ 0 и t² − 6t + 9 = (t − 3)² ≠ 0.
Итак, ОДЗ: x > 0, x ≠ 64; для новой переменной t ≠ 3.

б) Равносильные преобразования.
На ОДЗ исходное неравенство равносильно 1 + 5/(t − 3) + 6/(t − 3)² ≥ 0.
Приводим к общему знаменателю: ((t − 3)² + 5(t − 3) + 6)/(t − 3)² ≥ 0.
Раскрывая скобки и раскладывая числитель на множители, получаем t(t − 1)/(t − 3)² ≥ 0.

в) Метод интервалов и возврат к x.
Критические точки: 0, 1, 3. Знаменатель положителен при t ≠ 3, поэтому знак дроби определяется произведением t(t − 1).
На интервалах (−∞; 0), (0; 1), (1; 3), (3; +∞) знаки дроби соответственно +, −, +, +.
Точки 0 и 1 включаем, так как в них дробь равна нулю; точку 3 исключаем по ОДЗ.
Получаем t ∈ (−∞; 0] ∪ [1; 3) ∪ (3; +∞).
Функция x = 4ᵗ возрастает, поэтому x ∈ (0; 1] ∪ [4; 64) ∪ (64; +∞).
Ответ: (0; 1] ∪ [4; 64) ∪ (64; +∞).

а) ОДЗ и замена переменной.

Аргументы логарифмов должны быть положительными, а знаменатели — отличными от нуля: x > 0, log₂x ≠ 5, log₂(32x) ≠ 0.

Так как log₂(32x) = 5 + log₂x, ОДЗ: x > 0, x ≠ 32, x ≠ 1/32.

Положим t = log₂x. Тогда t ≠ ±5 и log₂(x¹⁶) = 16t.

б) Равносильные преобразования.

Получаем (t + 5)/(t − 5) + (t − 5)/(t + 5) − (16t + 18)/(t² − 25) ≥ 0.

Приводя к общему знаменателю, получаем ((t + 5)² + (t − 5)² − 16t − 18)/(t² − 25) ≥ 0.

После упрощения: 2(t − 4)²/((t − 5)(t + 5)) ≥ 0.

в) Метод интервалов и возвращение к x.

Критические точки: −5, 4, 5. Точки −5 и 5 исключены по ОДЗ; при t = 4 дробь равна нулю.

На интервалах (−∞; −5), (−5; 4), (4; 5), (5; +∞) знаки дроби соответственно: +, −, −, +.

Следовательно, t ∈ (−∞; −5) ∪ {4} ∪ (5; +∞).

Функция x = 2ᵗ возрастает, поэтому x ∈ (0; 1/32) ∪ {16} ∪ (32; +∞).

Ответ: (0; 1/32) ∪ {16} ∪ (32; +∞).

а) ОДЗ.

Для существования логарифмов необходимо: x³ − 3x² + 3x − 1 > 0 и x² − 1 > 0.

Первое выражение равно (x − 1)³, поэтому первое условие равносильно x > 1. При x > 1 второе условие также выполнено.

Итак, ОДЗ: x > 1.

б) Равносильные преобразования на ОДЗ.

По свойствам логарифмов log₈((x − 1)³) = 3log₈(x − 1) = log₂(x − 1).

Разложим x² − 1 = (x − 1)(x + 1). На ОДЗ оба множителя положительны, поэтому log₂(x² − 1) = log₂(x − 1) + log₂(x + 1).

Исходное неравенство равносильно log₂(x − 1) ≥ log₂(x − 1) + log₂(x + 1) − 5.

Вычитая log₂(x − 1), получаем log₂(x + 1) ≤ 5.

Поскольку основание 2 > 1, логарифмическая функция возрастает: x + 1 ≤ 2⁵, то есть x ≤ 31.

в) Метод интервалов и граничные точки.

Пересекаем x ≤ 31 с ОДЗ x > 1. Точки 1 и 31 разбивают числовую прямую на интервалы; оба условия выполнены только при 1 < x ≤ 31.

Точка 1 исключена по ОДЗ. Точка 31 входит в решение, поскольку принадлежит ОДЗ и обращает неравенство в равенство.

Ответ: (1; 31].

а) ОДЗ и замена переменной.

Знаменатель не равен нулю: 3ˣ ≠ 36, то есть x ≠ log₃ 36.

Положим t = 3ˣ. Тогда t > 0 и t ≠ 36.

б) Равносильные преобразования.

Приведём левую часть к общему знаменателю: t + 243/(t − 36) ≥ 0 ⇔ (t² − 36t + 243)/(t − 36) ≥ 0.

Разложим числитель на множители: t² − 36t + 243 = (t − 9)(t − 27).

Получаем (t − 9)(t − 27)/(t − 36) ≥ 0, где t > 0, t ≠ 36.

в) Метод интервалов и возврат к x.

Критические точки: 9, 27, 36. На интервалах (0; 9), (9; 27), (27; 36), (36; +∞) знаки выражения соответственно: −, +, −, +.

Точки 9 и 27 включаем, поскольку числитель обращается в нуль; точку 36 исключаем по ОДЗ. Поэтому t ∈ [9; 27] ∪ (36; +∞).

Функция 3ˣ возрастает, поэтому 9 ≤ 3ˣ ≤ 27 ⇔ 2 ≤ x ≤ 3, а 3ˣ > 36 ⇔ x > log₃ 36.

Ответ: [2; 3] ∪ (log₃ 36; +∞).

а) ОДЗ и замена переменной.

Знаменатели не равны нулю: 2ˣ ≠ 5 и 2ˣ ≠ 8. Следовательно, x ≠ log₂ 5 и x ≠ 3.

Положим t = 2ˣ. Тогда t > 0, t ≠ 5, t ≠ 8; при этом 4ˣ = t² и 3·2ˣ⁺¹ = 6t.

б) Равносильные преобразования.

Исходное неравенство принимает вид (t² − 6t + 4)/(t − 5) + (6t − 46)/(t − 8) ≤ t + 5.

Выделим целые части: (t² − 6t + 4)/(t − 5) = t − 1 − 1/(t − 5), а (6t − 46)/(t − 8) = 6 + 2/(t − 8).

После переноса правой части получаем равносильное неравенство −1/(t − 5) + 2/(t − 8) ≤ 0.

Приводя к общему знаменателю, получаем (t − 2)/((t − 5)(t − 8)) ≤ 0.

в) Метод интервалов и возврат к x.

Критические точки: 2, 5, 8. На интервалах (0; 2), (2; 5), (5; 8), (8; +∞) знаки выражения соответственно: −, +, −, +.

Точку 2 включаем как нуль числителя; точки 5 и 8 исключаем по ОДЗ. Значит, t ∈ (0; 2] ∪ (5; 8).

Поскольку функция 2ˣ возрастает, 0 < 2ˣ ≤ 2 ⇔ x ≤ 1, а 5 < 2ˣ < 8 ⇔ log₂ 5 < x < 3.

Ответ: (−∞; 1] ∪ (log₂ 5; 3).

а) ОДЗ.
4^(x²) − 8·2^(x²) + 16 = (2^(x²) − 4)².
Знаменатель равен нулю при 2^(x²) = 4, то есть при x² = 2.
Следовательно, x ≠ −√2 и x ≠ √2.

б) Равносильные преобразования.
На ОДЗ знаменатель положителен, поэтому неравенство равносильно x³ + x² − x − 1 ≥ 0.
Разложим числитель: x²(x + 1) − (x + 1) = (x + 1)²(x − 1).
Получаем (x + 1)²(x − 1) ≥ 0.

в) Метод интервалов и граничные точки.
Нули произведения: −1 и 1. На интервалах (−∞; −1) и (−1; 1) произведение отрицательно, на (1; +∞) — положительно.
В точках −1 и 1 произведение равно нулю, поэтому обе точки включаем.
Получаем {−1} ∪ [1; +∞). Из этого множества исключаем √2 по ОДЗ; точка −√2 в него не входит.
Ответ: {−1} ∪ [1; √2) ∪ (√2; +∞).

а) ОДЗ и замена переменной.
3^x + 9 > 0, а знаменатели 3^x − 9 и 9^x − 81 обращаются в нуль только при x = 2.
ОДЗ: x ≠ 2.
Положим t = 3^x. Тогда t > 0, t ≠ 9, 9^x = t² и 4·3^(x + 1) = 12t.

б) Равносильные преобразования.
Перенесём правую часть влево и приведём дроби к общему знаменателю:
((t + 9)² + (t − 9)² − 12t − 144)/(t² − 81) ≥ 0.
Числитель равен 2t² − 12t + 18 = 2(t − 3)².
Следовательно, 2(t − 3)²/((t − 9)(t + 9)) ≥ 0, где t > 0 и t ≠ 9.

в) Метод интервалов и граничные точки.
В области t > 0 критические точки — 3 и 9; множитель t + 9 положителен.
На (0; 3) и (3; 9) дробь отрицательна, на (9; +∞) — положительна.
При t = 3 дробь равна нулю, эту точку включаем; при t = 9 дробь не определена, эту точку исключаем.
Таким образом, t = 3 или t > 9.
Возвращаясь к x, получаем 3^x = 3 или 3^x > 9. Поскольку функция 3^x возрастает, x = 1 или x > 2.
Ответ: {1} ∪ (2; +∞).

а) ОДЗ: x ≠ 1.

б) Приведём степени к основанию 2. Обозначим t = 2ˣ, тогда t > 0.

Числитель равен t³ − 8t² + 20t − 16.

Разложим его на множители: t³ − 8t² + 20t − 16 = (t − 2)²(t − 4).

Поэтому исходное неравенство равносильно (2ˣ − 2)²(2ˣ − 4)/(x − 1) ≥ 0 при x ≠ 1.

Квадрат (2ˣ − 2)² обращается в нуль только при x = 1. На ОДЗ он положителен, поэтому получаем равносильное неравенство (2ˣ − 4)/(x − 1) ≥ 0.

в) Применим метод интервалов. Граничные точки: x = 1 — знаменатель равен нулю; x = 2 — числитель равен нулю.

При x < 1 числитель и знаменатель отрицательны, поэтому дробь положительна.

При 1 < x < 2 числитель отрицателен, знаменатель положителен, поэтому дробь отрицательна.

При x > 2 числитель и знаменатель положительны, поэтому дробь положительна.

Точку x = 1 исключаем по ОДЗ, а x = 2 включаем, поскольку неравенство нестрогое.

Ответ: (−∞; 1) ∪ [2; +∞).

а) ОДЗ: (3 − x)(x² + 2) > 0, x² − 7x + 12 > 0, 5 − x > 0.

Поскольку x² + 2 > 0 при любом x, первое условие равносильно x < 3.

Разложим второй аргумент: x² − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4). Методом интервалов получаем x < 3 или x > 4.

Третье условие даёт x < 5. Пересечение всех условий: x < 3.

б) На ОДЗ объединим логарифмы справа по правилу суммы: log₅((3 − x)(x² + 2)) ≥ log₅((x² − 7x + 12)(5 − x)).

Основание 5 > 1, поэтому логарифмическая функция возрастает. Неравенство равносильно (3 − x)(x² + 2) ≥ (x² − 7x + 12)(5 − x) при x < 3.

Так как x² − 7x + 12 = (3 − x)(4 − x), а на ОДЗ 3 − x > 0, деление на 3 − x сохраняет знак неравенства.

Получаем x² + 2 ≥ (4 − x)(5 − x), то есть x² + 2 ≥ x² − 9x + 20.

После переноса слагаемых получаем равносильное неравенство 9(x − 2) ≥ 0.

в) Методом интервалов: выражение 9(x − 2) отрицательно при x < 2, равно нулю при x = 2 и положительно при x > 2. Следовательно, x ≥ 2.

Пересекаем с ОДЗ x < 3: получаем [2; 3). Точка 2 входит, поскольку неравенство нестрогое; точка 3 исключена по ОДЗ.

Ответ: [2; 3).

а) ОДЗ.
Аргумент логарифма положителен: 25 − 5^x > 0.
Так как 5 > 1, получаем 5^x < 5², то есть x < 2.

б) Равносильные преобразования.
На ОДЗ по основному логарифмическому тождеству 3^(log₃(25 − 5^x)) = 25 − 5^x.
Поэтому исходное неравенство равносильно 25 − 5^x + 25^x − 45 ≥ 0.
Положим t = 5^x, тогда t > 0 и 25^x = t².
Получаем t² − t − 20 ≥ 0, или (t − 5)(t + 4) ≥ 0.

в) Метод интервалов и границы.
Нули произведения: −4 и 5. На промежутках (−∞; −4), (−4; 5), (5; +∞) его знаки соответственно +, −, +.
Следовательно, t ≤ −4 или t ≥ 5; при t > 0 остаётся t ≥ 5.
С учётом ОДЗ: 5 ≤ t < 25, то есть 5 ≤ 5^x < 5².
По возрастанию показательной функции получаем 1 ≤ x < 2.
Точка x = 1 входит: выражение равно нулю; x = 2 исключена из ОДЗ.
Ответ: [1; 2).

а) ОДЗ.
Всегда 3^x > 0, поэтому 3^x + 21 > 0.
Второй знаменатель не должен обращаться в нуль: 3^x ≠ 27, то есть x ≠ 3.

б) Равносильные преобразования.
Положим t = 3^x, тогда t > 0 и t ≠ 27.
Приводя дроби к общему знаменателю, получаем (2t − 6)/((t + 21)(t − 27)) ≥ 0.
Так как 2 > 0 и t + 21 > 0, неравенство равносильно (t − 3)/(t − 27) ≥ 0.

в) Метод интервалов и границы.
Числитель равен нулю при t = 3, знаменатель — при t = 27.
На промежутках (0; 3), (3; 27), (27; +∞) знаки дроби соответственно +, −, +.
Точка t = 3 входит в решение, а t = 27 исключена из ОДЗ.
Следовательно, 0 < t ≤ 3 или t > 27.
Возвращаясь к x, получаем 3^x ≤ 3 или 3^x > 3³.
Поскольку функция 3^x возрастает, это равносильно x ≤ 1 или x > 3.
Точка x = 1 включается, точка x = 3 исключается.
Ответ: (−∞; 1] ∪ (3; +∞).

а) ОДЗ. Знаменатель представим в виде квадрата: 16^(x²) − 4·4^(x²) + 4 = (4^(x²) − 2)².

Он равен нулю при 4^(x²) = 2. Так как 4^(x²) = 2^(2x²), получаем 2x² = 1, то есть x = ±√2/2.

Следовательно, ОДЗ: x ≠ −√2/2 и x ≠ √2/2.

б) Равносильные преобразования. На ОДЗ знаменатель положителен, поэтому исходное неравенство равносильно неравенству 8x³ − 4x² − 2x + 1 ≤ 0.

Разложим числитель на множители: 4x²(2x − 1) − (2x − 1) = (2x − 1)(4x² − 1) = (2x − 1)²(2x + 1).

в) Метод интервалов. Нули произведения: x = −1/2 и x = 1/2. При x ≠ 1/2 множитель (2x − 1)² положителен, поэтому знак произведения совпадает со знаком 2x + 1.

На интервалах (−∞; −1/2), (−1/2; 1/2), (1/2; +∞) знаки произведения соответственно −, +, +. Обе точки −1/2 и 1/2 обращают числитель в нуль.

Таким образом, до учёта ОДЗ получаем x ∈ (−∞; −1/2] ∪ {1/2}. Исключаем точку −√2/2; точка √2/2 в это множество не входит. Точки −1/2 и 1/2 принадлежат ОДЗ и включаются в ответ.

Ответ: (−∞; −√2/2) ∪ (−√2/2; −1/2] ∪ {1/2}.

а) Замена переменной и ОДЗ. Положим t = 8^x, тогда t > 0, 2·8^(x − 1) = t/4, 64^x = t².

Знаменатели исходного неравенства не равны нулю: t/4 − 1 ≠ 0, t − 1 ≠ 0, t² − 5t + 4 ≠ 0.

Поскольку t² − 5t + 4 = (t − 1)(t − 4), ОДЗ: t > 0, t ≠ 1, t ≠ 4. Для исходной переменной: x ≠ 0, x ≠ 2/3.

б) Равносильные преобразования. На ОДЗ исходное неравенство принимает вид t/(t − 4) ≥ 3/(t − 1) + 8/((t − 1)(t − 4)).

Переносим все слагаемые влево и приводим к общему знаменателю: [t(t − 1) − 3(t − 4) − 8]/((t − 1)(t − 4)) ≥ 0.

После упрощения получаем равносильное неравенство (t − 2)²/((t − 1)(t − 4)) ≥ 0.

в) Метод интервалов. При t > 0 критические точки: 1, 2, 4. Точки 1 и 4 исключены по ОДЗ, а в точке 2 дробь равна нулю.

На интервалах (0; 1), (1; 2), (2; 4), (4; +∞) знаки дроби соответственно +, −, −, +: числитель вне точки 2 положителен, а знак знаменателя определяется множителями t − 1 и t − 4.

Следовательно, t ∈ (0; 1) ∪ {2} ∪ (4; +∞). Точка 2 включается, поскольку неравенство нестрогое; точки 1 и 4 не включаются.

Возвращаемся к x. Функция 8^x возрастает, поэтому 0 < 8^x < 1 равносильно x < 0; 8^x = 2 равносильно x = 1/3; 8^x > 4 равносильно x > 2/3.

Ответ: (−∞; 0) ∪ {1/3} ∪ (2/3; +∞).

а) ОДЗ и замена переменной.
Логарифм определён при x² − 16 > 0, то есть x ∈ (−∞; −4) ∪ (4; +∞).
Пусть t = log₃(x² − 16). Тогда исходное неравенство равносильно t² − 5t + 6 ≥ 0.
Разложим на множители: (t − 2)(t − 3) ≥ 0.
Методом интервалов получаем: произведение неотрицательно при t ≤ 2 или t ≥ 3; обе граничные точки включаются.
Ответ: t ∈ (−∞; 2] ∪ [3; +∞).

б) Возвращение к переменной x.
Поскольку основание 3 > 1, логарифмическая функция возрастает.
Поэтому с учётом ОДЗ условие t ≤ 2 равносильно 0 < x² − 16 ≤ 9, то есть 16 < x² ≤ 25.
Отсюда x ∈ [−5; −4) ∪ (4; 5].
Условие t ≥ 3 равносильно x² − 16 ≥ 27, то есть x² ≥ 43.
Отсюда x ∈ (−∞; −√43] ∪ [√43; +∞).
Точки ±4 исключены по ОДЗ; точки ±5 и ±√43 включены, поскольку в них достигается равенство.
Ответ: (−∞; −√43] ∪ [−5; −4) ∪ (4; 5] ∪ [√43; +∞).

а) ОДЗ и преобразование знаменателя.
Для существования логарифмов необходимо: 2 − x > 0, x + 1 > 0 и x² > 0. Следовательно, −1 < x < 2, x ≠ 0.
Обозначим t = log₂(x²). При x ≠ 0 имеем log₂(x⁴) = 2log₂(x²) = 2t.
Знаменатель равен t² + 2t + 1 = (t + 1)².
Он обращается в нуль при t = −1, то есть x² = 1/2, откуда x = ±√2/2.
Таким образом, ОДЗ: x ∈ (−1; 2), x ≠ 0, x ≠ ±√2/2.
Ответ: на ОДЗ знаменатель строго положителен.

б) Решение неравенства.
Умножение на положительный знаменатель даёт равносильное неравенство log₂(2 − x) − log₂(x + 1) ≥ 0.
По свойству логарифмов получаем log₂((2 − x)/(x + 1)) ≥ 0.
Так как основание 2 > 1, на ОДЗ это равносильно (2 − x)/(x + 1) ≥ 1.
Перенесём единицу влево: (1 − 2x)/(x + 1) ≥ 0.
Критические точки для метода интервалов: −1 и 1/2. Знаки дроби на промежутках (−∞; −1), (−1; 1/2), (1/2; +∞) соответственно: −, +, −.
Поэтому рациональное неравенство имеет решение (−1; 1/2].
Пересекаем его с ОДЗ: исключаем −√2/2 и 0; точка √2/2 > 1/2 в найденный промежуток не входит.
Точка −1 исключена, а точка 1/2 включена: в ней числитель исходной дроби равен нулю, знаменатель не равен нулю.
Ответ: (−1; −√2/2) ∪ (−√2/2; 0) ∪ (0; 1/2].