Задание 1 ЕГЭ по профильной математике

Если в четырёхугольник вписана окружность, суммы его противоположных сторон равны: $AB+CD=BC+AD$. Значит, каждая из этих сумм — половина периметра: $\frac{22}{2}=11$.

Тогда $CD=11-8=3$.

Средняя линия $DE$ отсекает треугольник $CDE$, подобный треугольнику $ABC$ с коэффициентом $\frac{1}{2}$. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента: $S_{CDE}=\frac{1}{4}\cdot 60=15$.

Трапеция — это треугольник без отсечённой части: $S_{ABED}=60-15=45$.

Биссектриса делит угол $A$ пополам, поэтому $\angle CAD=\angle BAD=23°$.

Угол $ADB$ — внешний угол треугольника $ACD$, он равен сумме двух углов, не смежных с ним: $\angle ADB=\angle C+\angle CAD=54°+23°=77°$.

Радиус OA перпендикулярен касательной CA, поэтому ∠OAC = 90°.

Центральный угол AOB равен градусной мере дуги AB: ∠AOB = 17°.

Точка B лежит на отрезке OC, поэтому ∠AOC = ∠AOB = 17°.

По сумме углов треугольника AOC: ∠ACO = 180° − 90° − 17° = 73°.

Ответ: 73.

Медиана к гипотенузе прямоугольного треугольника равна её половине: CM = BM = AB/2.

Треугольник BCM равнобедренный, поэтому ∠BCM = ∠CBM = 9°.

Высота CH перпендикулярна AB. В прямоугольном треугольнике BCH угол BCH равен 90° − 9° = 81°.

Луч CM лежит внутри угла BCH, поэтому ∠HCM = 81° − 9° = 72°.

Ответ: 72.

Центральный угол вдвое больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.

Обозначим вписанный угол через x°. Тогда центральный угол равен 2x°.

По условию 2x − x = 69, откуда x = 69.

Следовательно, центральный угол равен 2 · 69° = 138°.

Ответ: 138.

По расширенной теореме синусов AB/sin C = 2R, где R — радиус описанной окружности.

Отсюда R = AB/(2 sin C).

Так как sin 135° = sin 45° = √2/2, получаем R = (3√2)/(2 · √2/2) = 3.

Ответ: 3.

Радиус OA перпендикулярен касательной CA, поэтому ∠OAC = 90°.

В треугольнике AOC угол AOC равен 180° − 90° − 62° = 28°.

Точка B лежит на отрезке OC, поэтому ∠AOB = ∠AOC = 28°.

Градусная мера меньшей дуги AB равна центральному углу AOB, то есть 28°.

Ответ: 28.

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

Треугольник ABE и параллелограмм ABCD имеют общую высоту к прямой AD, причём AE = AD/2.

Поэтому S(ABE) = S(ABCD)/4 = 24/4 = 6.

Площадь трапеции BCDE равна 24 − 6 = 18.

Ответ: 18.

В равнобедренном треугольнике ABC стороны AC и BC равны, поэтому углы при основании AB равны.

По теореме о сумме углов треугольника ∠ABC = (180° − 168°)/2 = 6°.

Внешний угол CBD смежен с углом ABC, поэтому ∠CBD = 180° − 6° = 174°.

Ответ: 174.

В четырёхугольнике, описанном около окружности, суммы противоположных сторон равны: AB + CD = BC + AD.

Поэтому каждая из этих сумм равна половине периметра: AB + CD = 22/2 = 11.

Отсюда CD = 11 − 8 = 3.

Ответ: 3.

Центральный угол вдвое больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.

Пусть вписанный угол равен x градусов. Тогда центральный угол равен 2x градусов.

По условию 2x − x = 32, откуда x = 32.

Ответ: 32.

Площадь треугольника равна половине произведения стороны на проведённую к ней высоту.

Используя сторону 18 и высоту 10, получаем S = 18 · 10/2 = 90.

Пусть h — высота к стороне 15. Тогда 15h/2 = 90, откуда h = 180/15 = 12.

Ответ: 12.

Вписанные углы CBD и CAD опираются на одну дугу CD, поэтому равны.

Следовательно, ∠CBD = 37°.

Диагональ BD делит угол ABC на углы ABD и DBC.

∠ABC = 61° + 37° = 98°.

Ответ: 98.

Центральный угол вдвое больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.

Пусть вписанный угол равен x°, тогда центральный равен 2x°.

По условию 2x − x = 29, откуда x = 29.

Ответ: 29.

У четырёхугольника, описанного около окружности, суммы длин противоположных сторон равны.

Поэтому AB + CD = BC + AD.

AD = 10 + 15 − 6 = 19.

Ответ: 19.

У четырёхугольника, описанного около окружности, суммы длин противоположных сторон равны.

Следовательно, AB + CD = BC + AD.

AD = 6 + 9 − 4 = 11.

Ответ: 11.

У четырёхугольника, описанного около окружности, суммы длин противоположных сторон равны.

BC + AD = AB + CD = 10 + 17 = 27.

Периметр P = (AB + CD) + (BC + AD) = 27 + 27 = 54.

Ответ: 54.

Так как DE — средняя линия, треугольники CDE и CAB подобны с коэффициентом 1/2.

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.

Поэтому S(CDE) = 24 · (1/2)² = 6.

Площадь трапеции ABED равна 24 − 6 = 18.

Ответ: 18.

В прямоугольном треугольнике ABC угол A равен 90° − 65° = 25°.

Медиана к гипотенузе равна её половине, поэтому CM = AM. Треугольник ACM равнобедренный, и ∠ACM = ∠CAM = 25°.

Так как CH перпендикулярна AB, в треугольнике ACH получаем ∠ACH = 90° − 25° = 65°.

Следовательно, угол между высотой и медианой ∠MCH = 65° − 25° = 40°.

Ответ: 40.