Планиметрия · 61 задание ФИПИ с ответами
| Отрезки и диаметры окружности |
|
Поскольку BD — диаметр, лучи OB и OD противоположны. Углы AOB и AOD смежные.
Следовательно, ∠AOB = 180° − 114° = 66°.
Вписанный угол ACB равен половине центрального угла AOB, опирающегося на ту же дугу AB.
Значит, ∠ACB = 66°/2 = 33°.
Ответ: 33.
| Площадь параллелограмма равна 60. Точка середина стороны Найдите площадь треугольника |
|
Обозначим через h высоту параллелограмма, проведённую к стороне AD. Тогда AD · h = 60.
Точка E — середина AD, поэтому AE = AD/2. Высота треугольника ABE к основанию AE также равна h.
Следовательно, S_ABE = AE · h/2 = AD · h/4 = 60/4 = 15.
Ответ: 15.
| В треугольнике стороны и равны. Внешний угол при вершине равен Найдите угол Ответ дайте в градусах. |
|
Внутренний и внешний углы при вершине B смежные, поэтому ∠B = 180° − 107° = 73°.
Так как AC = BC, треугольник ABC равнобедренный с основанием AB, значит, ∠A = ∠B = 73°.
По теореме о сумме углов треугольника ∠C = 180° − 73° − 73° = 34°.
Ответ: 34.
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
| Острый угол прямоугольного треугольника равен Найдите величину угла между биссектрисой и медианой проведёнными |
|
Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине: CM = BM.
Поэтому треугольник BCM равнобедренный и ∠BCM = ∠CBM = 21°.
Биссектриса CD делит прямой угол пополам: ∠BCD = 90°/2 = 45°.
Угол между CD и CM равен 45° − 21° = 24°.
Ответ: 24.
| В четырёхугольник периметр которого равен 24, вписана окружность, Найдите длину стороны |
|
В четырёхугольнике, описанном около окружности, суммы длин противоположных сторон равны: AB + CD = BC + AD.
Поэтому каждая из этих сумм равна половине периметра: AB + CD = 24/2 = 12.
Следовательно, CD = 12 − 5 = 7.
Ответ: 7.
| Отрезки и диаметры окружности |
|
Поскольку BD — диаметр, лучи OB и OD противоположны.
Тогда ∠AOB = 180° − ∠AOD = 180° − 16° = 164°.
Вписанный угол ACB равен половине центрального угла AOB, опирающегося на ту же дугу AB.
Следовательно, ∠ACB = 164°/2 = 82°.
Ответ: 82.
| Четырёхугольник вписан в окружность. Угол равен угол равен Найдите угол Ответ дайте в градусах. |
|
Вписанные углы CBD и CAD опираются на одну дугу CD, поэтому ∠CBD = ∠CAD = 42°.
Диагональ BD делит угол ABC на углы ABD и DBC.
Следовательно, ∠ABD = ∠ABC − ∠DBC = 103° − 42° = 61°.
Ответ: 61.
| Две стороны треугольника равны 21 и 28. Высота, опущенная на бо́льшую из этих сторон, равна 15. Найдите высоту, опущенную на меньшую из этих сторон треугольника. |
|
Площадь треугольника равна половине произведения стороны на проведённую к ней высоту.
Используя сторону 28, получаем: S = 28 · 15/2 = 210.
Пусть h — высота к стороне 21. Тогда 21h/2 = 210, откуда h = 420/21 = 20.
Ответ: 20.
| Угол равен Его сторона касается окружности с центром в точке Отрезок пересекает окружность в точке (см. рисунок). Найдите градусную меру дуги окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах. |
|
Радиус OA перпендикулярен касательной CA, поэтому ∠OAC = 90°.
В треугольнике ACO: ∠AOC = 180° − 90° − 57° = 33°.
Точка B лежит на отрезке CO, поэтому ∠AOB = ∠AOC = 33°.
Градусная мера дуги AB равна величине соответствующего центрального угла AOB.
Ответ: 33.
| Четырёхугольник вписан |
|
Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°.
Поэтому ∠BAD + ∠BCD = 180°.
∠BCD = 180° − 136° = 44°.
Ответ: 44.
| Острый угол прямоугольного треугольника равен Найдите величину угла между биссектрисой и медианой проведёнными из вершины прямого угла Ответ дайте в градусах. |
|
Медиана CM проведена к гипотенузе AB, поэтому CM = BM = AM.
Треугольник BCM равнобедренный, следовательно, ∠BCM = ∠CBM = 70°.
Биссектриса CD делит прямой угол пополам: ∠BCD = 90°/2 = 45°.
Лучи CM и CD лежат внутри угла BCA, поэтому ∠DCM = 70° − 45° = 25°.
Ответ: 25.
| Четырёхугольник вписан в окружность. Угол равен , угол равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах. |
|
Вписанные углы CBD и CAD опираются на одну дугу CD, поэтому они равны.
Следовательно, ∠CBD = 39°.
Диагональ BD делит угол ABC на углы ABD и DBC.
∠ABC = 58° + 39° = 97°.
Ответ: 97.
| Стороны параллелограмма равны 24 и 27. Высота, опущенная на меньшую из этих сторон, равна 18. Найдите высоту, опущенную на бо́льшую сторону параллелограмма. |
|
Площадь параллелограмма равна произведению стороны на проведённую к ней высоту: S = ah.
Меньшая сторона равна 24, поэтому S = 24 · 18 = 432.
Высота к большей стороне равна S/27 = 432/27 = 16.
Ответ: 16.
| В четырёхугольник вписана окружность, Найдите периметр четырёхугольника |
|
У четырёхугольника с вписанной окружностью суммы противоположных сторон равны: AB + CD = BC + AD.
Следовательно, BC + AD = 9 + 17 = 26.
Периметр P = (AB + CD) + (BC + AD) = 26 + 26 = 52.
Ответ: 52.
| Площадь треугольника равна 60, средняя линия, параллельная стороне Найдите площадь |
|
Средняя линия DE параллельна AB и равна половине AB.
Треугольники CDE и CAB подобны с коэффициентом 1/2. Их площади относятся как квадрат коэффициента подобия.
Поэтому S(CDE) = 60 · (1/2)² = 15.
Площадь трапеции ABED равна 60 − 15 = 45.
Ответ: 45.
| Площадь параллелограмма равна 28. Точка — середина стороны Найдите площадь трапеции |
|
Обозначим через h высоту параллелограмма, проведённую к стороне AD. Тогда AD · h = 28.
Поскольку E — середина AD, имеем AE = AD/2. Высота треугольника ABE к основанию AE равна h.
Поэтому S(ABE) = AE · h/2 = AD · h/4 = 28/4 = 7.
Площадь трапеции BCDE равна 28 − 7 = 21.
Ответ: 21.
| Площадь треугольника равна 24, средняя линия, параллельная стороне Найдите площадь треугольника |
|
Поскольку DE — средняя линия треугольника ABC, DE ∥ AB и DE/AB = 1/2.
Треугольники CDE и CAB подобны по двум углам. Отношение их площадей равно (1/2)² = 1/4.
Следовательно, S(CDE) = 24/4 = 6.
Ответ: 6.
| Отрезки и диаметры окружности |
|
Вписанный угол ACB и центральный угол AOB опираются на одну дугу AB.
Центральный угол вдвое больше вписанного: ∠AOB = 2 · 32° = 64°.
Поскольку BD — диаметр, лучи OB и OD противоположны, поэтому углы AOB и AOD смежные.
Следовательно, ∠AOD = 180° − 64° = 116°.
Ответ: 116.
| В треугольнике угол равен , , . Найдите . |
|
В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза — AB, так как ∠C = 90°.
По теореме Пифагора BC² = AB² − AC² = 100 − 91 = 9, поэтому BC = 3.
Синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: sin A = BC/AB = 3/10 = 0,3.
Ответ: 0,3.
| Отрезки и диаметры окружности с центром . Угол равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах. |
|
Вписанный угол ACB и центральный угол AOB опираются на одну дугу AB.
Центральный угол вдвое больше вписанного: ∠AOB = 2 · 61° = 122°.
Поскольку BD — диаметр, лучи OB и OD противоположны. Поэтому ∠AOD = 180° − 122° = 58°.
Ответ: 58.
