Задание 3 ЕГЭ по профильной математике

Боковые грани обеих призм — параллелограммы с одним и тем же боковым ребром, площадь грани пропорциональна стороне основания, на которую она опирается.

У отсечённой призмы две грани — половинки граней исходной призмы (средняя линия делит две стороны основания пополам), а третья опирается на среднюю линию, равную половине третьей стороны. Значит, площадь боковой поверхности отсечённой призмы вдвое меньше: $2\cdot 18=36$.

Многогранник $ABC{B}_1$ — треугольная пирамида с основанием $ABC$ и высотой $B{B}_1=A{A}_1=5$.

$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot 9\cdot 6=27$, $V=\frac{1}{3}\cdot 27\cdot 5=45$.

Если радиус шара $r$, то у описанного цилиндра радиус основания $r$ и высота $2r$.

$V_{\text{цил}}=\pi r^2\cdot 2r=2\pi r^3=18$, откуда $\pi r^3=9$. Тогда $V_{\text{шара}}=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\cdot 9=12$.

Многогранник ABCB₁ — пирамида с основанием ABC и высотой B₁B = 5, поскольку B₁B перпендикулярно плоскости основания.

Треугольник ABC прямоугольный: AB перпендикулярно BC.

Площадь основания: S = AB · BC / 2 = 7 · 6 / 2 = 21.

Объём пирамиды: V = S · B₁B / 3 = 21 · 5 / 3 = 35.

Ответ: 35.

Средняя линия отсекает от основания треугольник, подобный исходному с коэффициентом 1/2.

Площади подобных треугольников относятся как квадраты коэффициента подобия: S₁/S = (1/2)² = 1/4.

Плоскость сечения параллельна боковым рёбрам, поэтому отсечённая и исходная призмы имеют одинаковую высоту.

По формуле V = Sh их объёмы относятся как площади оснований: 24/V = 1/4. Следовательно, V = 24 · 4 = 96.

Ответ: 96.

Средняя линия отсекает от основания треугольник, подобный исходному с коэффициентом 1/2.

Отношение площадей оснований равно квадрату коэффициента подобия: S₁/S = (1/2)² = 1/4.

Секущая плоскость параллельна боковым рёбрам, поэтому высоты отсечённой и исходной призм равны.

По формуле V = Sh получаем 5/V = 1/4, откуда V = 5 · 4 = 20.

Ответ: 20.

Пусть r — общий радиус основания. По условию общая высота h = r.

По теореме Пифагора образующая конуса l = √(r² + h²) = r√2.

Площадь боковой поверхности конуса: πrl = πr²√2 = 3√2, откуда πr² = 3.

Площадь боковой поверхности цилиндра: S = 2πrh = 2πr² = 6.

Ответ: 6.

Обозначим радиус шара через R. Радиус основания конуса также равен R.

Сечение шара имеет радиус R только тогда, когда его плоскость проходит через центр шара. Поэтому основание конуса проходит через центр шара, а высота конуса равна R.

Объём конуса: V = πR² · R / 3 = πR³/3 = 12.

Объём шара: V = 4πR³/3 = 4 · 12 = 48.

Ответ: 48.

Пусть r — радиус шара. У описанного цилиндра радиус основания равен r, а высота равна 2r.

Полная поверхность цилиндра: S = 2πr² + 2πr · 2r = 6πr².

По условию 6πr² = 30, поэтому πr² = 5.

Площадь поверхности шара равна 4πr² = 4 · 5 = 20.

Ответ: 20.

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине.

Поэтому каждая сторона основания отсечённой треугольной призмы вдвое меньше соответствующей стороны исходного основания.

Боковые рёбра призм одинаковы. Каждая новая боковая грань — параллелограмм с вдвое меньшим основанием и той же высотой, поэтому её площадь уменьшается вдвое.

Следовательно, площадь боковой поверхности отсечённой призмы равна 24/2 = 12.

Ответ: 12.

Многогранник ABCC₁ — треугольная пирамида с основанием ABC и вершиной C₁.

В правильной призме боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, поэтому высота пирамиды CC₁ = 9.

Объём пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту: V = S · h/3.

Получаем V = 7 · 9/3 = 21.

Ответ: 21.

Обозначим общую площадь основания через S, а общую высоту через h.

Объём цилиндра равен S · h, а объём конуса равен S · h/3.

Следовательно, объём конуса составляет треть объёма цилиндра: V = 30/3 = 10.

Ответ: 10.

Многогранник ABCDB₁ — пирамида с прямоугольным основанием ABCD и вершиной B₁.

Площадь основания равна S = AB · BC = 9 · 3 = 27.

Ребро BB₁ перпендикулярно плоскости основания, поэтому высота пирамиды равна 8.

По формуле объёма пирамиды V = S · h/3 = 27 · 8/3 = 72.

Ответ: 72.

Многогранник — пирамида с основанием ABCD и вершиной C₁.

Площадь прямоугольного основания: S = BC · CD = 9 · 3 = 27.

Ребро CC₁ перпендикулярно основанию, поэтому высота пирамиды равна 7.

Объём пирамиды: V = S · h / 3 = 27 · 7 / 3 = 63.

Ответ: 63.

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине.

Поэтому стороны основания отсечённой треугольной призмы вдвое меньше соответствующих сторон исходного основания.

Плоскость сечения параллельна боковым рёбрам, поэтому боковые рёбра отсечённой призмы сохраняют длину и направление.

Каждая её боковая грань имеет вдвое меньшую площадь: одна сторона параллелограмма уменьшилась вдвое, а соответствующая высота сохранилась.

Следовательно, S бок = 54 / 2 = 27.

Ответ: 27.

Многогранник является треугольной призмой с основаниями ADD₍₁₎ и BCC₍₁₎, если заменить верхние вершины; для данного набора вершин его основания — треугольники ADA₁ и BCB₁.

Треугольник ADA₁ прямоугольный: AD = BC = 4, AA₁ = 3.

Площадь основания: S = AD · AA₁ / 2 = 4 · 3 / 2 = 6.

Расстояние между основаниями равно AB = 5, поскольку AB перпендикулярно плоскости ADA₁.

Объём призмы: V = S · h = 6 · 5 = 30.

Ответ: 30.

Объём конуса вычисляется по формуле V = πr²h / 3.

При увеличении радиуса в 11 раз и неизменной высоте новый объём равен V₁ = π(11r)²h / 3 = 121 · πr²h / 3.

Следовательно, V₁ / V = 121.

Ответ: 121.

Искомый многогранник получается из исходной призмы удалением пирамиды A₁ABC.

Правильная призма является прямой, поэтому её высота равна боковому ребру: h = 6.

Объём всей призмы: V призмы = S основания · h = 4 · 6 = 24.

У пирамиды A₁ABC основание ABC имеет площадь 4, а высота A₁A равна 6. Поэтому V пирамиды = 4 · 6 / 3 = 8.

Искомый объём: V = 24 − 8 = 16.

Ответ: 16.

Площадь боковой поверхности цилиндра: S = 2πrh. Так как h = r, получаем 2πr² = 5√2.

По теореме Пифагора образующая конуса l = √(r² + h²) = r√2.

Площадь боковой поверхности конуса: πrl = πr²√2 = (5√2/2) · √2 = 5.

Ответ: 5.

Объём цилиндра вычисляется по формуле V = πr²h.

Объём конуса с теми же основанием и высотой равен трети объёма цилиндра.

Поэтому V конуса = 6/3 = 2.

Ответ: 2.