В треугольнике угол равен . Прямые, содержащие высоты и треугольника , пересекаются в точке . Точка центр окружности, описанной около треугольника .
а) Докажите, что .
б) Найдите площадь треугольника , если , .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Доказательство.
Обозначим радиус описанной окружности через R. Проведём диаметр BK.
Углы BAK и BCK прямые как вписанные углы, опирающиеся на диаметр. Следовательно, AK ⊥ AB и CK ⊥ BC.
Точка H — ортоцентр треугольника ABC, поэтому CH ⊥ AB и AH ⊥ BC. Значит, AK ∥ CH и CK ∥ AH.
Таким образом, четырёхугольник AHCK — параллелограмм, откуда AH = CK.
По расширенной теореме синусов BC = 2R sin 120° = R√3.
Из прямоугольного треугольника BCK получаем CK = √(BK² − BC²) = √(4R² − 3R²) = R.
Следовательно, AH = R = AO.
Ответ: AH = AO, что и требовалось доказать.
б) Вычисление площади.
По сумме углов треугольника ∠ACB = 180° − 120° − 15° = 45°.
Из равенства BC = R√3 при BC = 3 находим R = √3. По пункту а) AH = AO = √3.
Поскольку угол A тупой, ортоцентр H лежит по другую сторону от прямой AB, чем C. Из AH ⊥ BC получаем ∠BAH = 90° + ∠ABC = 105°.
Вписанный угол ACB равен 45°, поэтому меньший центральный угол AOB равен 90°. Центр O лежит по ту же сторону от AB, что и C: угол ACB острый, и C принадлежит большей дуге AB.
Треугольник AOB равнобедренный, поэтому ∠BAO = (180° − 90°)/2 = 45°.
Лучи AH и AO лежат по разные стороны от AB, следовательно, ∠HAO = 105° + 45° = 150°.
Тогда S(AHO) = AH · AO · sin 150°/2 = √3 · √3 · (1/2)/2 = 3/4 = 0,75.
Ответ: 0,75.