В трапеции основание в два раза больше основания . Внутри трапеции взяли точку так, что углы и прямые.
а) Докажите, что .
б) Найдите угол , если угол равен , а расстояние от точки до прямой равно стороне .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Введём прямоугольную систему координат: A(0; 0), D(2a; 0), B(u; h), C(u + a; h), где a = BC > 0, h > 0. Пусть M(x; y).
По условию AB ⟂ BM. Поэтому скалярное произведение векторов AB и BM равно нулю: u(x − u) + h(y − h) = 0.
Аналогично, DC ⟂ CM, поэтому (u − a)(x − u − a) + h(y − h) = 0.
Вычитая второе равенство из первого, получаем ax − a² = 0. Следовательно, x = a.
Значит, M лежит на серединном перпендикуляре к AD и равноудалена от концов этого отрезка: AM = DM.
Ответ: AM = DM.
б) Расстояние от внутренней точки M до AD равно a, поэтому y = a. С учётом пункта а) имеем M(a; a).
Обозначим t = ctg 70°. Из ∠ADC = 70° получаем 2a − (u + a) = h·ctg 70°, то есть u = a − ht.
Подставим x = y = a в равенство, выражающее AB ⟂ BM: u(a − u) + h(a − h) = 0.
Используя u = a − ht, получаем (a − ht)ht + h(a − h) = 0. Поскольку h > 0, после деления на h имеем a(1 + t) = h(1 + t²).
Следовательно, h = a(1 + t)/(1 + t²), а u = a − ht = a(1 − t)/(1 + t²).
Так как 0 < t < 1, то u > 0, поэтому угол BAD острый и tg ∠BAD = h/u = (1 + t)/(1 − t).
При этом t = ctg 70° = tg 20°. По формуле тангенса суммы (1 + tg 20°)/(1 − tg 20°) = tg(45° + 20°) = tg 65°.
Таким образом, ∠BAD = 65°.
Ответ: 65°.