Точки P, Q, W делят стороны выпуклого четырёхугольника в отношении , радиус окружности, описанной около треугольника PQW, равен 10, , угол PWQ острый.
а) Докажите, что треугольник прямоугольный.
б) Найдите площадь четырёхугольника .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) По расширенной теореме синусов sin ∠PWQ = PQ/(2R) = 16/20 = 4/5.
Угол PWQ острый, поэтому cos ∠PWQ = √(1 − 16/25) = 3/5.
Обозначим PW = x. По теореме косинусов в треугольнике PQW получаем: 16² = x² + 12² − 2 · x · 12 · 3/5.
Следовательно, 5x² − 72x − 560 = 0, то есть (x − 20)(5x + 28) = 0. Так как x > 0, имеем PW = 20.
Равенство 12² + 16² = 20² по обратной теореме Пифагора означает, что ∠PQW = 90°.
Ответ а): треугольник PQW прямоугольный, его прямой угол — при Q.
б) Из AP:PB = CQ:QB = 3:4 следует BP/BA = BQ/BC = 4/7. По обратной теореме Фалеса PQ ∥ AC, а из подобия треугольников BPQ и BAC получаем PQ/AC = 4/7.
Поэтому AC = 16 · 7/4 = 28.
Аналогично CQ/CB = CW/CD = 3/7, поэтому QW ∥ BD и QW/BD = 3/7. Следовательно, BD = 12 · 7/3 = 28.
Так как PQ ⟂ QW, то AC ⟂ BD. Обозначим точку пересечения диагоналей через O.
Складывая площади четырёх прямоугольных треугольников с вершиной O, получаем S = (AO · BO + BO · CO + CO · DO + DO · AO)/2 = (AO + CO)(BO + DO)/2 = AC · BD/2.
Следовательно, S = 28 · 28/2 = 392.
Ответ б): 392.