В остроугольном треугольнике отрезки и высоты. Известно, что а
а) Докажите, что
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Докажем, что ∠ABC = 60°. Обозначим ∠ABC = β.
Точки B, K, N, C лежат на окружности с диаметром BC, поскольку ∠BKC = ∠BNC = 90°. Поэтому ∠KNB = ∠KCB = 90° − β: это вписанные углы, опирающиеся на хорду KB.
Точки A, N, H, B лежат на окружности с диаметром AB, поскольку ∠ANB = ∠AHB = 90°. Следовательно, ∠BNH = ∠BAH = 90° − β: эти углы опираются на хорду BH.
Луч NB проходит внутри угла KNH. Действительно, точки K и H находятся по разные стороны от прямой BN, а их проекции на BN лежат на луче NB. Поэтому ∠KNH = ∠KNB + ∠BNH = 180° − 2β.
По условию 180° − 2β = 60°, откуда β = 60°.
Ответ к пункту а): ∠ABC = 60°, что и требовалось доказать.
б) В прямоугольном треугольнике ABH имеем BH = AB · cos 60°. Значит, AB = 2/(1/2) = 4.
Так как K лежит на стороне AB, получаем BK = AB − AK = 4 − 1 = 3.
В прямоугольном треугольнике BKC имеем BK = BC · cos 60°, поэтому BC = 3/(1/2) = 6.
По теореме косинусов в треугольнике ABC: AC² = AB² + BC² − 2AB · BC · cos 60° = 16 + 36 − 24 = 28. Следовательно, AC = 2√7.
По расширенной теореме синусов AC = 2R · sin 60°. Поэтому R = 2√7/(2 · √3/2) = 2√21/3.
Ответ к пункту б): 2√21/3.