Прямая, перпендикулярная стороне ромба пересекает его диагональ в точке а диагональ в точке причём
а) Докажите, что .
б) Найдите площадь ромба, если
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Обозначим точку пересечения диагоналей ромба через O. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.
Введём прямоугольные координаты: A(−x; 0), C(x; 0), B(0; y), D(0; −y), где x > 0, y > 0.
Из AM:MC = 1:2 следует M(−x/3; 0), а из BN:ND = 1:3 следует N(0; y/2).
Векторы MN и BC имеют координаты (x/3; y/2) и (x; −y). Поскольку MN ⟂ BC, их скалярное произведение равно нулю: x²/3 − y²/2 = 0. Значит, 2x² = 3y².
Векторы AB и AD имеют координаты (x; y) и (x; −y), поэтому по формуле косинуса угла между векторами cos ∠BAD = (x² − y²)/(x² + y²).
Подставляя x² = 3y²/2, получаем cos ∠BAD = (y²/2)/(5y²/2) = 1/5.
Ответ: а) cos ∠BAD = 1/5, что и требовалось доказать.
б) По формуле расстояния между точками MN² = x²/9 + y²/4 = 25.
Учитывая x² = 3y²/2, получаем y²/6 + y²/4 = 25, то есть 5y²/12 = 25. Следовательно, y² = 60, x² = 90.
Площадь ромба равна половине произведения диагоналей: S = AC · BD/2 = 2xy = 2√(90 · 60) = 60√6.
Ответ: б) 60√6.