В треугольнике точки и лежат на сторонах и соответственно так, что Окружность, вписанная
в треугольник касается отрезка в точке
а) Докажите, что
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник если
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Обозначим AC = b, BC = a, AB = c, высоту из B через h, радиус вписанной окружности через r, полупериметр через p.
По условию BM/BA = BN/BC = 3/5. По обратной теореме Фалеса MN ∥ AC, а из подобия треугольников BMN и BAC получаем MN = 3b/5.
Расстояние между прямыми MN и AC равно h − 3h/5 = 2h/5.
Вписанная окружность лежит в полосе между этими параллельными прямыми: она находится со стороны B относительно AC, а её центр не может лежать со стороны B относительно MN, иначе расстояние от центра до AC было бы больше расстояния до MN. Оба расстояния равны r, поэтому 2r = 2h/5, то есть r = h/5.
По формулам площади треугольника S = bh/2 = pr. Подставляя r = h/5 и сокращая на h > 0, получаем p = 5b/2.
Следовательно, a + b + c = 5b, откуда a + c = 4b.
Ответ: а) AB + BC = 4AC, что и требовалось доказать.
б) MN = ML + LN = 9/5 + 3 = 24/5. Так как MN = 3AC/5, получаем AC = 8. По пункту а) AB + BC = 32, поэтому p = 20.
Пусть окружность касается AB в точке T. Окружность вписана в четырёхугольник AMNC, поэтому T лежит на AM. По равенству касательных MT = ML = 9/5.
Длины касательных из A дают AT = p − BC = 20 − a. Поскольку AM = 2c/5, имеем 2c/5 = AT + TM = 20 − a + 9/5.
Подставим a = 32 − c: 2c/5 = c − 51/5, откуда c = 17 и a = 15.
По формуле Герона S = √(20 · (20 − 8) · (20 − 15) · (20 − 17)) = √3600 = 60.
Из S = pr получаем r = 60/20 = 3.
Ответ: б) 3.