В пирамиде рёбра , и попарно перпендикулярны,
а .
а) Докажите, что эта пирамида правильная.
б) На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём . Найдите площадь сечения .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) По теореме Пифагора для прямоугольных треугольников ADB, BDC и ADC:
DA² + DB² = DB² + DC² = DA² + DC² = 50.
Вычитая равенства, получаем DA² = DB² = DC² = 25, поэтому DA = DB = DC = 5.
Пусть H — основание перпендикуляра из D на плоскость ABC. По теореме Пифагора HA² = DA² − DH², HB² = DB² − DH², HC² = DC² − DH², откуда HA = HB = HC.
Следовательно, H — центр описанной окружности равностороннего треугольника ABC. Основание пирамиды — правильный треугольник, а её высота проходит через центр основания, поэтому пирамида правильная.
Ответ: пирамида DABC правильная.
б) Из заданных отношений DM = DN = (2/5) · 5 = 2. Так как DM/DA = DN/DC, по обратной теореме Фалеса MN ∥ AC. Плоскость BMN пересекает грани пирамиды по отрезкам BM, BN и MN, поэтому сечение — треугольник BMN.
Треугольник MDN прямоугольный и равнобедренный, поэтому MN = √(2² + 2²) = 2√2.
Ребро DB перпендикулярно плоскости ADC, поскольку перпендикулярно двум пересекающимся прямым DA и DC этой плоскости. Поэтому BM² = BD² + DM² = 29, BN² = BD² + DN² = 29.
Таким образом, треугольник BMN равнобедренный. Если P — середина MN, то BP — его высота и MP = √2.
По теореме Пифагора BP = √(BM² − MP²) = √(29 − 2) = 3√3.
S(BMN) = MN · BP/2 = 2√2 · 3√3/2 = 3√6.
Ответ: 3√6.