В правильной шестиугольной пирамиде точки и середины боковых рёбер и соответственно.
а) Докажите, что прямые и параллельны.
б) Найдите объём пирамиды если а угол между плоскостью и плоскостью основания пирамиды равен
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) В треугольнике SAD отрезок MK соединяет середины сторон SA и SD, поэтому по теореме о средней линии MK ∥ AD.
Пусть O — центр правильного шестиугольника ABCDEF. Его центральные углы равны 60°, а радиусы равны стороне, поэтому треугольник BOC равносторонний.
В равнобедренном треугольнике AOB угол AOB равен 60°, следовательно, угол BAO = 60°. Точки A, O, D лежат на одной прямой, поэтому угол BAD = 60°.
Внутренний угол ABC правильного шестиугольника равен 120°. Следовательно, сумма внутренних односторонних углов BAD и ABC равна 180°, откуда AD ∥ BC.
Так как MK ∥ AD и AD ∥ BC, получаем MK ∥ BC.
Ответ: BC ∥ MK.
б) Пусть H — середина AO. В треугольнике ASO отрезок MH — средняя линия, поэтому MH ∥ SO и MH = SO/2. Так как SO перпендикулярно плоскости основания, MH также перпендикулярно этой плоскости.
Обозначим через Q середину BC. В равностороннем треугольнике BOC медиана OQ является высотой, поэтому OQ ⟂ BC и OQ = √(8² − 4²) = 4√3.
По пункту а) AH ∥ BC. Следовательно, расстояния от H и A до прямой BC равны. Найдём это расстояние через площадь треугольника ABC.
S(ABC) = AB · BC · sin 120°/2 = 8 · 8 · (√3/2)/2 = 16√3. Поэтому расстояние от A до BC равно 2S(ABC)/BC = 4√3.
Пусть T — основание перпендикуляра из H на прямую BC. Тогда HT = 4√3. По теореме о трёх перпендикулярах MT ⟂ BC.
Плоскости BMC и основания пересекаются по BC, поэтому угол MTH — линейный угол двугранного угла между ними. По условию он равен 45°.
В прямоугольном треугольнике MHT получаем MH = HT · tg 45° = 4√3.
В треугольнике ABF стороны AB = AF = 8, угол BAF = 120°, поэтому S(ABF) = 8 · 8 · sin 120°/2 = 16√3.
Высота пирамиды MABF равна MH, следовательно, V(MABF) = S(ABF) · MH/3 = 16√3 · 4√3/3 = 64.
Ответ: 64.