Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды с основанием равны 4. Точка — центр основания пирамиды. Плоскость, параллельная прямой и проходящая через точку пересекает рёбра и в точках и соответственно. Точка делит ребро в отношении
а) Докажите, что точка — середина ребра
б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость пересекает грань
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Обозначим секущую плоскость через α. Плоскость SAC содержит прямую SA и точку O.
Прямая пересечения плоскостей α и SAC проходит через O и параллельна SA. Действительно, если бы она пересекала SA, то SA имела бы общую точку с α, что противоречит условию SA ∥ α.
Точка M принадлежит обеим плоскостям, поэтому OM ∥ SA.
Диагонали квадрата делятся точкой пересечения пополам, следовательно, O — середина AC. По теореме о средней линии треугольника SAC прямая через O, параллельная SA, пересекает SC в его середине.
Значит, M — середина SC и CM = 2.
Ответ: M — середина ребра SC.
б) В плоскости SAD проведём через N прямую NE ∥ SA, где E лежит на AD. Поскольку SA ∥ α и N принадлежит α, прямая NE целиком лежит в α.
Треугольники DNE и DSA подобны по двум углам. Поэтому DE/DA = DN/DS = 3/4, откуда DE = 3 и AE = 1.
Плоскость α пересекает основание по прямой EO. Обозначим через P точку, симметричную E относительно O. Центральная симметрия квадрата переводит A в C, D в B, поэтому P лежит на BC и CP = AE = 1.
Точки E, O, P лежат на одной прямой, значит, P принадлежит α. Следовательно, грань SBC пересекается с α по отрезку MP.
Все стороны треугольника SBC равны 4, поэтому он равносторонний и угол MCP равен 60°.
По теореме косинусов MP² = CM² + CP² − 2·CM·CP·cos 60° = 4 + 1 − 2 = 3.
Ответ: √3.