Задание 15 ЕГЭ по профильной математике № 9B8297

а) Доказательство.

Основания трапеции — AD и BC: равенство AB ∥ CD невозможно, поскольку по условию прямые AB и CD пересекаются в K.

Пусть H — основание перпендикуляра из P на плоскость основания. Если две плоскости перпендикулярны, то перпендикуляр к одной из них, проведённый через точку другой, лежит в другой плоскости.

Поэтому PH лежит и в плоскости PAB, и в плоскости PCD. Следовательно, H принадлежит обеим прямым AB и CD, то есть H = K. Таким образом, PK перпендикулярно основанию.

В выпуклой трапеции точка K лежит либо за стороной BC, либо за стороной AD. В первом случае углы при A и D треугольника KAD равны ∠BAD и ∠ADC, поэтому их сумма равна 90° и ∠AKD = 90°.

Во втором случае оба угла треугольника KAD при A и D были бы дополнительными к ∠BAD и ∠ADC. Их сумма составляла бы 360° − 90° = 270°, что невозможно. Значит, имеет место первый случай и AB перпендикулярна CD.

Прямые AB и CD лежат соответственно в плоскостях PAB и PCD и обе перпендикулярны их линии пересечения PK. Поэтому угол между AB и CD является линейным углом двугранного угла между этими плоскостями.

Этот угол равен 90°, следовательно, плоскости PAB и PCD перпендикулярны.

Ответ: перпендикулярность плоскостей доказана.

б) Вычисление объёма.

Из доказанного следует, что B лежит между K и A, а C — между K и D. Поэтому KA = KB + 4, KD = KC + 4.

Поскольку BC ∥ AD, треугольники KBC и KAD подобны по двум углам. Значит, KA/KB = KD/KC.

Подставляя выражения для KA и KD, получаем (KB + 4)/KB = (KC + 4)/KC. Следовательно, KB = KC.

Треугольник KBC прямоугольный, так как AB перпендикулярна CD, а его гипотенуза BC = 4. По теореме Пифагора 2KB² = 16, откуда KB = KC = 2√2.

Площадь треугольника KBC равна KB · KC/2 = 4. Высота из P на его плоскость равна PK = 9, поскольку это также высота исходной пирамиды.

Следовательно, V(KBCP) = S(KBC) · PK/3 = 4 · 9/3 = 12.

Ответ: 12.