В правильной треугольной пирамиде с основанием точки и — середины рёбер и соответственно, а точки и отмечены на рёбрах и соответственно так, что отрезки и пересекаются, а
а) Докажите, что прямые и пересекаются в одной точке.
б) Найдите отношение
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Обозначим точку пересечения отрезков MK и NL через X. Эти прямые определяют плоскость α, содержащую точки M, N, K, L.
В треугольнике SAB имеем SN/SA = 1/4. Если бы MN ∥ SB, то по теореме о пропорциональных отрезках AN/AS = AM/AB. Однако AN/AS = 3/4, а AM/AB = 1/2. Следовательно, MN пересекает SB в некоторой точке T.
Поскольку M и N лежат внутри сторон AB и AS, прямая MN пересекает прямую SB вне отрезка SB. По теореме Менелая для треугольника ASB получаем (AN/NS) · (ST/TB) · (BM/MA) = 1.
Учитывая AN/NS = 3 и BM/MA = 1, находим ST/TB = 1/3. Значит, T лежит на продолжении BS за точку S: при расположении за B было бы ST > TB.
Точка T принадлежит плоскости α, поскольку лежит на MN. Она также принадлежит плоскости SBC. Точка K принадлежит обеим плоскостям.
Плоскости α и SBC различны: M принадлежит α, но не принадлежит SBC, поскольку плоскости SAB и SBC пересекаются по SB, а M не лежит на SB. Следовательно, α и SBC пересекаются по прямой TK.
Точка L также принадлежит обеим плоскостям, поэтому лежит на TK. Таким образом, прямые MN, KL и SB проходят через T.
Ответ: а) прямые MN, KL и SB пересекаются в одной точке.
б) Применим теорему Менелая к треугольнику SBC и прямой TLK: (ST/TB) · (BL/LC) · (CK/KS) = 1.
По доказанному ST/TB = 1/3, а CK/KS = 1, поскольку K — середина SC. Поэтому (1/3) · (BL/LC) = 1, откуда BL/LC = 3.
Ответ: б) 3:1.