В правильной шестиугольной пирамиде точки и середины боковых рёбер и соответственно.
а) Докажите, что прямые и параллельны.
б) Найдите объём пирамиды если а угол между плоскостью и плоскостью основания пирамиды равен
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Пусть O — центр правильного шестиугольника ABCDEF. Противоположные вершины A и D лежат на одной прямой с O, поэтому AD ∥ AO.
Треугольник AOB равносторонний: OA = OB = AB, так как радиус описанной окружности правильного шестиугольника равен его стороне. Следовательно, ∠BAO = 60°.
В правильном шестиугольнике ∠ABC = 120°. Поэтому ∠BAO + ∠ABC = 180°, откуда AO ∥ BC по признаку параллельности прямых.
В треугольнике SAD отрезок MK соединяет середины сторон SA и SD. По теореме о средней линии MK ∥ AD. Так как AD ∥ BC, получаем MK ∥ BC.
Ответ: а) BC ∥ MK, что и требовалось доказать.
б) В правильной пирамиде SO перпендикулярна плоскости основания. Пусть H — середина AO. В треугольнике ASO отрезок MH — средняя линия, поэтому MH ∥ SO. Следовательно, MH перпендикулярна плоскости основания и является высотой пирамиды MABF.
В равностороннем треугольнике AOB со стороной 12 медиана BH является высотой. Поэтому BH ⟂ AO и BH = √(12² − 6²) = 6√3.
Поскольку BC ∥ AO, имеем BH ⟂ BC. Кроме того, прямая через H, параллельная BC, перпендикулярна MH. Значит, она перпендикулярна плоскости MBH, а параллельная ей BC также перпендикулярна этой плоскости. Следовательно, MB ⟂ BC.
Плоскости BMC и основания пересекаются по BC. Прямые BM и BH лежат в этих плоскостях и перпендикулярны BC, поэтому острый угол MBH равен заданному углу между плоскостями: 30°.
Треугольник MBH прямоугольный при H, откуда MH = BH · tg 30° = 6√3 · 1/√3 = 6.
В треугольнике ABF стороны AB = AF = 12, а угол BAF = 120° как внутренний угол правильного шестиугольника. Поэтому S(ABF) = (1/2) · 12 · 12 · sin 120° = 36√3.
Объём пирамиды MABF равен V = (1/3) · S(ABF) · MH = (1/3) · 36√3 · 6 = 72√3.
Ответ: б) 72√3.