Точка середина бокового ребра правильной четырёхугольной пирамиды Точка лежит на стороне основания Плоскость проходит через точки и параллельно боковому ребру
а) Плоскость пересекает боковое ребро в точке Докажите,
что
б) Плоскость делит пирамиду на два многогранника. Найдите отношение их объёмов, если
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Доказательство. Обозначим через K середину AC. В треугольнике CSA отрезок MK — средняя линия, поэтому MK ∥ SA. Поскольку M принадлежит α и α ∥ SA, прямая MK лежит в α.
Следовательно, пересечение α с плоскостью основания — прямая NK. Пусть она пересекает AD в точке P.
Диагонали квадрата делятся пополам, поэтому AK = CK. Треугольники AКP и CКN равны по стороне и двум прилежащим углам: углы при K вертикальные, а углы при A и C равны вследствие AD ∥ BC. Значит, AP = CN, откуда DP = BN.
Пересечение плоскостей α и SAD — прямая PL, параллельная SA: обе плоскости содержат направление SA. По теореме о пропорциональных отрезках в треугольнике DSA получаем DL/LS = DP/PA = BN/NC.
Ответ а): BN : NC = DL : LS, что и требовалось доказать.
б) Вычисление объёмов. Пусть сторона основания равна a, высота пирамиды равна h, а её объём V = a²h/3. Из BN : NC = 1 : 3 следует BN = DP = a/4, NC = AP = 3a/4. По пункту а) DL/DS = 1/4.
Сечение — четырёхугольник PNML. Многогранник, содержащий C и D, разбивается плоскостью MDP на пирамиду MCDPN и тетраэдр MDPL.
Основание первой пирамиды — трапеция CDPN с параллельными сторонами DP и CN и высотой a. Её площадь равна ((a/4 + 3a/4)/2) · a = a²/2. Высота из M равна h/2, поскольку M — середина SC. Поэтому V₁ = (1/3) · (a²/2) · (h/2) = V/4.
Сравним тетраэдры MDPL и CDSA. Их основания DPL и DSA лежат в одной плоскости, причём S(DPL)/S(DSA) = (DP/DA) · (DL/DS) = 1/16, поскольку угол при D общий.
Расстояние от M до плоскости SAD вдвое меньше расстояния от C до этой плоскости: M — середина SC, а S лежит в SAD. Следовательно, V(MDPL) = V(CDSA)/32. Диагональ AC делит квадрат пополам, поэтому V(CDSA) = V/2 и V(MDPL) = V/64.
Таким образом, объём части, содержащей C и D, равен V/4 + V/64 = 17V/64. Объём второй части равен 47V/64.
Ответ б): 17 : 47.