В основании прямой призмы лежит равнобедренная трапеция с основаниями и Точка делит
ребро в отношении а точка середина ребра
а) Докажите, что плоскость делит отрезок пополам.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью если
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Введём прямоугольную систему координат: A(0; 0; 0), D(3; 0; 0), B(1/2; t; 0), C(5/2; t; 0), где t > 0 — высота трапеции. Такие координаты следуют из равнобедренности трапеции и равенства (AD − BC)/2 = 1/2.
Обозначим высоту прямой призмы через h. Тогда M(1; 0; h), K(3; 0; h/2).
Плоскость MKC имеет уравнение x + 5y/(2t) + 4z/h = 5: координаты каждой из трёх точек M, K, C удовлетворяют ему. Эти точки не лежат на одной прямой, поскольку C не принадлежит плоскости боковой грани ADD₁A₁.
На ребре BB₁ координаты x = 1/2, y = t. Подстановка в уравнение плоскости даёт 1/2 + 5/2 + 4z/h = 5, откуда z = h/2.
Таким образом, точка N пересечения плоскости MKC с BB₁ является серединой этого ребра.
Ответ: плоскость MKC делит BB₁ пополам.
б) Из ∠ADC = 60° получаем t = (1/2)tg 60° = √3/2.
Векторы KM = (−2; 0; h/2) и KC = (−1/2; t; −h/2) перпендикулярны по условию. Их скалярное произведение равно нулю: 1 − h²/4 = 0. Так как h > 0, имеем h = 2.
Уравнение секущей плоскости принимает вид √3x + 5y + 2√3z = 5√3.
На верхнем основании z = 2 её след задаётся уравнением x + 5y/√3 = 1. Он пересекает A₁D₁ в M, а A₁B₁ — в точке P, для которой A₁P/A₁B₁ = 1/3: значение x + 5y/√3 меняется вдоль A₁B₁ от 0 до 3.
Следовательно, сечение — пятиугольник MKCNP: его стороны последовательно лежат в гранях ADD₁A₁, DCC₁D₁, BCC₁B₁, ABB₁A₁ и верхнем основании.
Пусть M₀ и P₀ — ортогональные проекции M и P на основание. Тогда M₀(1; 0; 0), P₀(1/6; t/3; 0), а проекция сечения — пятиугольник M₀DCBP₀.
Его площадь равна площади трапеции ABCD за вычетом площади треугольника AM₀P₀: S₀ = (3 + 2)t/2 − 1 · (t/3)/2 = 7t/3 = 7√3/6.
Нормаль к секущей плоскости имеет координаты (√3; 5; 2√3), а нормаль к основанию — (0; 0; 1). Поэтому для острого угла φ между плоскостями cos φ = 2√3/√(3 + 25 + 12) = √(3/10).
По теореме о площади ортогональной проекции S₀ = S cos φ. Значит, площадь сечения S = (7√3/6)/√(3/10) = 7√10/6.
Ответ: 7√10/6.