Найдите все значения , при каждом из которых уравнение
имеет ровно один корень на отрезке .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) ОДЗ и возможные корни.
На заданном отрезке необходимо 1/4 ≤ x ≤ 1 и x² − 2x + 2 − a² > 0.
Произведение равно нулю, если на ОДЗ хотя бы один из множителей равен нулю.
Первый множитель обращается в нуль при x = 1/4.
Эта точка является корнем тогда и только тогда, когда 25/16 − a² > 0, то есть |a| < 5/4.
Второй множитель равен нулю при x² − 2x + 2 − a² = 1, то есть (x − 1)² = a².
На отрезке [1/4; 1] имеем 1 − x ≥ 0, поэтому получаем единственную возможную точку x = 1 − |a|.
Она принадлежит отрезку тогда и только тогда, когда |a| ≤ 3/4; аргумент логарифма в ней равен 1, поэтому ОДЗ выполнена.
Ответ пункта а): возможны корни x = 1/4 и x = 1 − |a| при указанных условиях.
б) Число корней при всех значениях параметра.
При 0 ≤ |a| < 3/4 существуют два различных корня: 1/4 и 1 − |a| > 1/4.
При |a| = 3/4 эти корни совпадают, поэтому корень ровно один.
При 3/4 < |a| < 5/4 существует только корень x = 1/4.
При |a| ≥ 5/4 ни один из возможных корней не удовлетворяет условиям.
Таким образом, требуется 3/4 ≤ |a| < 5/4.
Ответ: a ∈ (−5/4; −3/4] ∪ [3/4; 5/4).