Найдите все значения при каждом из которых система уравнений
имеет единственное решение.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Разделим решения по знаку y.
Из второго уравнения x = 2/(|y| + 1). Поэтому каждому допустимому y соответствует ровно одно значение x.
При y = 0 получаем x = 2, а первое уравнение даёт a = 0.
Ответ: решение с y = 0 существует только при a = 0.
б) Рассмотрим y < 0.
Положим t = −y > 0. Тогда x = 2/(t + 1), и первое уравнение принимает вид 2/(t + 1) − at + a − 2 = 0.
Умножая на t + 1 > 0 и приводя подобные, получаем at² + 2t − a = 0.
При a = 0 имеем t = 0, что не удовлетворяет условию t > 0.
При a ≠ 0 дискриминант D = 4 + 4a² > 0, а произведение корней равно −1. Следовательно, ровно один корень положителен.
Ответ: при каждом a ≠ 0 существует ровно одно решение с y < 0; при a = 0 таких решений нет.
в) Рассмотрим y > 0.
Положим u = y + 1 > 1. Подстановка x = 2/u в первое уравнение даёт au² − 2u + 2 = 0, то есть a = 2(u − 1)/u² > 0.
Поэтому при a ≤ 0 решений с y > 0 нет. При a > 1/2 их также нет, поскольку D = 4 − 8a < 0.
При 0 < a < 1/2 оба корня u₁ = 2/(1 + √(1 − 2a)) и u₂ = 2/(1 − √(1 − 2a)) больше 1: получаем два решения с y > 0.
При a = 1/2 получаем один корень u = 2 и одно решение с y > 0.
Итак, при a < 0 система имеет одно решение; при a = 0 — только (2; 0); при 0 < a < 1/2 — три решения; при a = 1/2 — два; при a > 1/2 — одно.
Ответ: a ∈ (−∞; 0] ∪ (1/2; +∞).