Найдите все значения при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Замена переменной и число корней.
Положим b = a² + 1 ≥ 1 и t = |x − a²| + |x + 1|. Исходное уравнение принимает вид t² − 7t + 4b = 0.
При −1 ≤ x ≤ a² имеем t = b; при x < −1 имеем t = a² − 1 − 2x; при x > a² имеем t = 2x + 1 − a².
Следовательно, значение t = b достигается на целом отрезке, а каждое значение t > b — ровно при двух различных x. Значения t < b невозможны.
Поэтому ровно два корня x получаются тогда и только тогда, когда квадратное уравнение имеет ровно один различный корень t > b и не имеет корня t = b.
б) Разбор значений параметра.
Обозначим f(t) = t² − 7t + 4b. Тогда f(b) = b(b − 3), дискриминант D = 49 − 16b.
Если 1 ≤ b < 3, то f(b) < 0. Поскольку старший коэффициент положителен, существуют два различных корня, причём b находится строго между ними. Ровно один корень больше b, поэтому исходное уравнение имеет ровно два корня.
Если b = 3, то f(b) = 0: все x из отрезка [−1; a²] являются решениями. Корней бесконечно много.
Если 3 < b < 49/16, то 0 < D < 1. Меньший корень t₁ = (7 − √D)/2 больше b: действительно, 7 − 2b > 0 и (7 − 2b)² − D = 4b(b − 3) > 0.
Оба корня t больше b, поэтому получаются четыре различных корня x.
Если b = 49/16, имеется единственный корень t = 7/2 > b, дающий ровно два корня x. Если b > 49/16, то D < 0 и решений нет.
в) Возвращение к a.
Подходят 1 ≤ b < 3 и b = 49/16, то есть a² < 2 или a² = 33/16.
Ответ: a ∈ {−√33/4} ∪ (−√2; √2) ∪ {√33/4}.