Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений
имеет ровно четыре различных решения.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Сведение системы к двум квадратным уравнениям.
Второе уравнение равносильно (x − 1)(y − 1) = 0, поэтому x = 1 или y = 1.
При x = 1 первое уравнение принимает вид a y² + (a + 2)y + 3a + 1 = 0.
При y = 1 оно принимает вид a x² + 2ax + 2a + 3 = 0.
Каждый корень первого уравнения задаёт решение (1; y), а каждый корень второго — решение (x; 1).
б) Условие четырёх решений.
При a = 0 исходное первое уравнение имеет вид 2y + 1 = 0. Тогда y = −1/2 и из второго уравнения x = 1: решение только одно.
При a ≠ 0 каждое из полученных квадратных уравнений имеет не более двух различных действительных корней. Поэтому четыре решения возможны только тогда, когда оба имеют по два различных корня и общая пара (1; 1) не является решением.
Дискриминанты равны D₁ = (a + 2)² − 4a(3a + 1) = 4 − 11a² и D₂ = (2a)² − 4a(2a + 3) = −4a(a + 3).
Условие D₁ > 0 даёт −2√11/11 < a < 2√11/11; условие D₂ > 0 даёт −3 < a < 0.
Их пересечение: −2√11/11 < a < 0.
в) Исключение совпадения и проверка границ.
Прямые x = 1 и y = 1 пересекаются только в точке (1; 1). Подстановка в первое уравнение даёт 5a + 3 = 0, то есть a = −3/5.
Это значение лежит в найденном промежутке. При нём оба дискриминанта положительны, но одна пара учитывается дважды, поэтому различных решений три.
При остальных значениях внутри промежутка получаются ровно четыре различные пары.
При a ≠ 0 вне промежутка хотя бы один дискриминант неположителен, поэтому соответствующее уравнение имеет не более одного корня и четырёх решений быть не может. В частности, нижняя граница исключается из-за D₁ = 0; значение a = 0 рассмотрено отдельно.
Ответ: a ∈ (−2√11/11; −3/5) ∪ (−3/5; 0).