Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений
имеет ровно четыре различных решения.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Геометрический смысл системы.
Первое уравнение равносильно совокупности x + ay = 5 или x + ay = 5a. Второе уравнение задаёт окружность с центром O(0; 0) и радиусом 4.
При a = 1 прямые совпадают, поэтому система имеет не более двух решений. Следовательно, a = 1 не подходит.
При a ≠ 1 прямые параллельны и различны, поэтому общих точек у них нет. Каждая прямая пересекает окружность не более чем в двух точках.
Таким образом, ровно четыре различных решения получаются тогда и только тогда, когда каждая из двух прямых пересекает окружность в двух точках.
б) Условия пересечения.
Прямая пересекает окружность в двух точках тогда и только тогда, когда расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса.
Для прямой x + ay = 5 получаем 5/√(1 + a²) < 4. Обе части положительны, поэтому после возведения в квадрат: 25 < 16(1 + a²), откуда a² > 9/16, то есть |a| > 3/4.
Для прямой x + ay = 5a получаем 5|a|/√(1 + a²) < 4. Равносильно: 25a² < 16(1 + a²), откуда a² < 16/9, то есть |a| < 4/3.
в) Отбор значений параметра.
Совместно условия дают 3/4 < |a| < 4/3. Дополнительно исключаем a = 1, при котором прямые совпадают.
При |a| = 3/4 или |a| = 4/3 одна из прямых касается окружности, поэтому четырёх решений нет. За пределами найденных промежутков хотя бы одна прямая имеет менее двух точек пересечения с окружностью.
Ответ: a ∈ (−4/3; −3/4) ∪ (3/4; 1) ∪ (1; 4/3).