Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Геометрический смысл системы.
Первое уравнение равносильно (x − 3)² + (y − 4)² = 16. Это окружность с центром C(3; 4) и радиусом R = 4.
При a ≠ 0 второе уравнение задаёт окружность с центром O(0; 0) и радиусом r = |a|. Расстояние между центрами d = √(3² + 4²) = 5.
б) Условие двух решений.
Каждому решению системы соответствует общая точка окружностей. Две окружности имеют ровно две общие точки тогда и только тогда, когда |R − r| < d < R + r.
Следовательно, |4 − r| < 5 и 5 < 4 + r. Первое неравенство равносильно −5 < 4 − r < 5, то есть −1 < r < 9; второе даёт r > 1.
Совместно получаем 1 < r < 9, то есть 1 < |a| < 9.
в) Граничные и остальные случаи.
При r = 1 или r = 9 окружности касаются, поэтому решение одно. При 0 < r < 1 или r > 9 общих точек нет.
При a = 0 второе уравнение даёт только точку (0; 0), которая не удовлетворяет первому уравнению. Поэтому решений нет.
Ответ: a ∈ (−9; −1) ∪ (1; 9).