Найдите все значения при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Сведение к исследованию парабол.
Из первого уравнения y = 4x + a. Второе уравнение равносильно равенству |y| = x(x − 4)/2, поэтому x ≤ 0 или x ≥ 4.
При y ≥ 0 получаем a = x²/2 − 6x = (x − 6)²/2 − 18; при y ≤ 0 получаем a = −x²/2 − 2x = 2 − (x + 2)²/2. В обоих случаях оставляем только x ≤ 0 или x ≥ 4.
Каждому найденному x соответствует ровно одно y = 4x + a. При y = 0 обе ветви дают одно и то же решение, которое следует учитывать один раз.
б) Число пересечений каждой ветви с прямой уровня a.
Для f(x) = (x − 6)²/2 − 18 на x ≤ 0 функция строго убывает и принимает все значения от 0 до +∞. Здесь один корень при a ≥ 0 и ни одного при a < 0.
На x ≥ 4 вершина этой параболы имеет координаты (6; −18), а f(4) = −16. Поэтому число корней равно 0 при a < −18; 1 при a = −18; 2 при −18 < a ≤ −16; 1 при a > −16.
Для g(x) = 2 − (x + 2)²/2 на x ≤ 0 вершина имеет координаты (−2; 2), а g(0) = 0. Поэтому число корней равно 1 при a < 0; 2 при 0 ≤ a < 2; 1 при a = 2; 0 при a > 2.
На x ≥ 4 функция g строго убывает от g(4) = −16 до −∞. Здесь один корень при a ≤ −16 и ни одного при a > −16.
Совпадения ветвей возможны только при y = 0: это x = 0, a = 0 и x = 4, a = −16. При каждом из этих значений параметра из суммы чисел корней вычитаем 1.
в) Разбор всех значений параметра.
При a < −18 система имеет 2 решения; при a = −18 — 3 решения; при −18 < a < −16 — 4 решения.
При a = −16 система имеет 3 решения; при −16 < a < 0 — 2 решения; при a = 0 — 3 решения.
При 0 < a < 2 система имеет 4 решения; при a = 2 — 3 решения; при a > 2 — 2 решения.
Ответ: a ∈ (−∞; −18) ∪ (−16; 0) ∪ (2; +∞).