Найдите все значения при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Исследуем выражение с модулями. Обозначим t = 4x − 3|x + a²| + |x − 1| + 3a². Поскольку −a² ≤ 1, раскрываем модули на трёх промежутках:
при x < −a²: t = 4x + 3(x + a²) + 1 − x + 3a² = 6x + 6a² + 1;
при −a² ≤ x ≤ 1: t = 4x − 3(x + a²) + 1 − x + 3a² = 1;
при x > 1: t = 4x − 3(x + a²) + x − 1 + 3a² = 2x − 1.
На первом промежутке t принимает каждое значение меньше 1 ровно один раз, на третьем — каждое значение больше 1 ровно один раз. Значению t = 1 соответствует весь отрезок [−a²; 1], содержащий бесконечно много точек.
Следовательно, каждому t ≠ 1 соответствует ровно один корень x. Ответ пункта а): исходное уравнение имеет ровно два корня тогда и только тогда, когда уравнение t² − (a + 1)t + 4 = 0 имеет два различных действительных корня, оба отличных от 1.
б) Разберём все случаи параметра. Дискриминант квадратного уравнения D = (a + 1)² − 16 = (a − 3)(a + 5).
Если −5 < a < 3, то D < 0: действительных значений t нет, поэтому корней x нет.
Если a = −5, то D = 0 и t = −2; если a = 3, то D = 0 и t = 2. В каждом случае t ≠ 1, поэтому исходное уравнение имеет ровно один корень.
Если a < −5 или a > 3, то D > 0: имеются два различных действительных корня t. Проверим, когда среди них есть 1: 1 − (a + 1) + 4 = 0, откуда a = 4.
При a = 4 уравнение принимает вид (t − 1)(t − 4) = 0. Значению t = 1 соответствует весь отрезок [−16; 1], поэтому корней x бесконечно много; этот параметр исключаем.
При остальных a из промежутков a < −5 или a > 3 оба корня t отличны от 1. Каждый даёт ровно один корень x, причём эти корни различны, поскольку одному x соответствует единственное значение t.
Ответ: a ∈ (−∞; −5) ∪ (3; 4) ∪ (4; +∞).