Задание 19 ЕГЭ по профильной математике № M27-46

Первое уравнение — прямая $l$: $y=4x+a$. Второе задаёт две ветви: при $y\ge 0$ — часть ${\omega }_1$ параболы $y=\frac{1}{2}{(x-2)}^2-2$ (при $x\le 0$ и $x\ge 4$), при $y<0$ — часть ${\omega }_2$ параболы $y=-\frac{1}{2}{(x-2)}^2+2$ (при $x<0$ и $x>4$).

Особые положения прямой: через концевые точки $(0;0)$ при $a=0$ и $(4;0)$ при $a=-16$.

Касание с ${\omega }_1$: $x^2-12x-2a=0$, $D=144+8a=0$ при $a=-18$ (точка $(6;6)$). Касание с ${\omega }_2$: $x^2+4x+2a=0$, $D=16-8a=0$ при $a=2$ (точка $(-2;-6)$).

Общих точек $l$ с ${\omega }_1$: 0 при $a<-18$, 1 при $a=-18$, 2 при $-18<a\le -16$, 1 при $-16<a<0$, 2 при $a\ge 0$.

Общих точек $l$ с ${\omega }_2$: 2 при $a<-16$, 1 при $-16\le a\le 0$, 2 при $0<a<2$, 1 при $a=2$, 0 при $a>2$.

Складываем: ровно два решения при $a<-18$ (0 + 2), при $-16<a<0$ (1 + 1) и при $a>2$ (2 + 0); при $a=-18$, $-16$, $0$, $2$ решений три, на остальных промежутках — четыре.

Ответ: $a<-18$; $-16<a<0$; $a>2$.